2 Approximation par des m´ ethodes it´ eratives

(1)

Approximations num´ eriques

1 Des ensembles de nombres ` a la repr´ esentation machine des nombres

2 Approximation par des m´ ethodes it´ eratives

2.1 G´ en´ eralit´ es

Méthode itérative Définition

Pour approcher un nombreα∈R, on va construire une suite (u_n)_n∈_Ntelle que

n→∞lim un =α.

Une telle méthode d’approximation est appeléeméthode itérative.

Remarques

– On ne fait en pratique qu’un nombre fini d’it´erations.

– Étant donnée une précisionε, on souhaite s’arrêter à une itérationN =N(ε) telle que

|uN−α| ≤ε.

– Cette valeurN =N(ε) dépendra bien sûr du choix de la méthode (de la suite (u_n)_n∈_N).

2.2 Un premier exemple : approximation de √ 2

La méthode de Héron d’Alexandrie Définition de la suite





 u0>0 un+1=1

2

un+ 2 un

Propriétés de la suite (un)_n∈N – Positivité :∀n∈N,un >0 – Monotonie :

un+1−un =2−u²_n 2un

( ≤0 siun ≥√ 2

≥0 siu_n ∈]0,√ 2[

– Position par rapport `a √ 2

u_n+1−√

2 = (un−√ 2)²

2u_n ≥0 ∀n≥0.

Convergence

– Quel que soitu0>0, la suite (un)n≥1 est d´ecroissante et minor´ee par√

2, donc elle converge.

– Soit`sa limite,`v´erifie

`=1 2

`+2

`

=⇒`²= 2 =⇒`=√

2 ( car` >0).

(2)

“Vitesse” de convergence

un+1−√

2 = (un−√ 2)² 2un

, ∀n≥0 avecu_n ≥√

2, ∀n≥1.

=⇒ |un+1−√

2| ≤ |un−√ 2|² 2√

2 ∀n≥1.

– Par r´ecurrence, on obtient :

|un−√

2| ≤2√

2 |u1−√ 2|

2√ 2

!²ⁿ⁻¹

, ∀n≥1 – Pour avoir |un−√

2|< ε, il suffit de choisirntel que

2√

2 |u1−√ 2|

2√ 2

!²ⁿ⁻¹

< ε

soit n−1> 1

ln 2ln ln(ε/(2√ 2)) ln(|u1−√

2|/(2√ 2))

!

, si |u1−√ 2|

2√

2 ≤1.

– Si u0= 1, u1= 3/2, pour garantirε= 10⁻¹⁴, il suffit de choisir n≥5 .

2.3 Un deuxi` eme exemple : calcul approch´ e de π

²

6 = X

k≥1

1 k

²

Etude de la suite des sommes partielles D´efinition de la suite(Sn)_n≥1

Sn=

n

X

k=1

1 k² Convergence

– Pour toutk >1,k(k−1) =k²−k≤k²

=⇒ 1

k² ≤ 1

k(k−1) = 1 k−1 −1

k – Par cons´equent,

n

X

k=2

1 k² ≤

n

X

k=2

( 1 k−1 −1

k) = 1− 1 n

– La suite (S_n)_n≥1est croissante, major´ee par 2 donc elle converge. On admet que sa limite`= π² 6 . Vitesse de convergence

`−Sn=

+∞

X

k=n+1

1 k². Or,

(3)

1

k(k+ 1) ≤ 1

k² ≤ 1 k(k−1)

⇓

+∞

X

k=n+1

1

k(k+ 1) ≤`−S_n≤

+∞

X

k=n+1

1 k(k−1) 1 ⇓

n+ 1 ≤`−S_n≤ 1 n.

Pour avoir 0≤`−Sn≤ε, il suffit de choisirn≥1/ε, condition quasiment n´ecessaire car sin+ 1≤1/ε alors`−Sn ≥ε.

Pour garantir une précisionε= 10⁻¹⁴, on prendra n≥10¹⁴ ! ! ! Modification de la suite étudiée

D´efinition de (T_n)_n≥1

Tn=Sn+1 n =

n

X

k=1

1 k². Convergence

(Tn) est clairement convergente et de mˆeme limite que (Sn)n≥1,`.

Encadrement de `−Tn

1 n+ 1− 1

n ≤ `−Sn− 1

n ≤ 1

n− 1 n

⇓

− 1

n(n+ 1) ≤ `−T_n ≤ 0.

Vitesse de convergence de la suite (Tn) On a donc

|`−Tn| ≤ 1

n(n+ 1) ≤ 1 n².

Ainsi, pour avoir |`−Tn| ≤ε, il suffit de choisir n≥ 1

√ε.

Pour garantir ε = 10⁻¹⁴, on pourra donc prendre n≥10⁷ . C’est mieux... mais la convergence est encore lente !

(4)

2.4 Ordre de convergence d’une suite

D´efinitions

Soit (xn)_n∈Nune suite d’approximation deα∈R – On dit quela suite converge vers αsi lim

n→+∞|xn−α|= 0 :

∀ε >0,∃N ≥0 tel que∀n≥N,|xn−α|< ε.

– Si, de plus, il existep∈N^∗et C >0 tels que

|x_n+1−α| ≤C|x_n−α|^p (∀n≥n₀), on dit quela convergence est d’ordre au moins p.

Dans le casp= 1, on doit avoir de plusC <1.

Remarques – Si lim

n→+∞

|xn+1−α|

|xn−α|^p =C∈R , la convergence est d’ordre au moinsp. Elle est d’ordrepsi, de plus, C6= 0.

– p= 1 : convergencelin´eaire

|xn+1−α| ≤ C|xn−α|

=⇒ |xn−α| ≤ Cⁿ|x0−α|

| {z }

tend vers 0 si C <1 – p= 2 : convergencequadratique

|xn+1−α| ≤ C|xn−α|²

=⇒ |xn−α| ≤ 1

C(C|x0−α|)²ⁿ

| {z }

tend vers 0 siC|x0−α|<1

3 R´ esolution d’´ equations non lin´ eaires

3.1 Pr´ esentation du probl` eme

Notion de z´ero d’une fonction D´efinition

g : I⊂R→ R (Iintervalle deR) x7→ g(x)

On dit queαest unz´erodeg sig(α) = 0.

Questions

– Existence d’un ou de plusieurs zéros ? – Détermination des zéros ?

→ Calcul exact si possible (c’est rare ! !)

→ Calcul de valeurs approchées... par des méthodes itératives !

(5)

Principe

Soitg:I⊂R→R, admettant au moins un z´eroα∈I.

Calcul d’une valeur approchée de α: méthode itérative Construire une suite (x_n)_n∈_Ntelle que lim

n→+∞x_n=α.

En pratique, on ne peut pas faire un nombre infini d’itérations ! Critères d’arrêt, associés à une précisionε donnée

1. |g(xn+1)|< ε, 2. |xn+1−xn|< ε, 3. |xn+1−xn|

|xn+1| < ε Objectif : un calcul rapide

Obtenir une précision donnée en un nombre minimal d’itérations,i.e.construire des méthodes d’ordre le plus élevé possible.

3.2 M´ ethodes de dichotomie et de fausse position

Rappel

Th´eor`eme

Soitg: [a, b]→R, une fonction continue sur [a, b].

Supposonsg(a)g(b)<0.

Alors, il existeα∈[a, b] tel queg(α) = 0.

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b

Principe de la m´ethode de dichotomie

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b m

(6)

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b m

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a b

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a b m

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a b

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a b m

– m= a+b 2 ,

– sig(m)g(a)>0 alorsα∈]m, b[ : a←m , – sig(m)g(a)<0 alorsα∈]a, m[ : b←m . Convergence de la m´ethode de dichotomie

Construction de 3 suites r´ecurrentes (an)_n∈N, (bn)_n∈Net (xn)_n∈Nsont d´efinies par – a0=a,b0=b,

– ∀n≥0,xn= an+bn

2 ,

– si g(xn) = 0 alorsan+1=an et bn+1=bn,

(7)

sig(an)g(xn)<0 alorsan+1=an etbn+1=xn, sig(an)g(xn)>0 alorsan+1=xn etbn+1=bn. Th´eor`eme

Soitg: [a, b]→R, une fonction continue sur [a, b] (a < b).

Supposonsg(a)g(b)<0.

Alors, la suite (x_n)_n∈_Ndéfinie par la méthode de dichotomie converge vers un zéroα∈]a, b[ deg.

M´ethode de la fausse position

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b w

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b w

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b

−2 0 2 4 6

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

a

b w

(8)

– w=a−g(a) b−a g(b)−g(a),

– sig(w)g(a)>0 alorsα∈]w, b[ : a←w , – sig(w)g(a)<0 alorsα∈]a, w[ : b←w . Convergence de la m´ethode de la fausse position

Construction de 3 suites r´ecurrentes (a_n)_n∈_N, (b_n)_n∈_Net (w_n)_n∈_Nsont d´efinies par – a0=a,b0=b,

– ∀n≥0,wn=an−g(an) bn−an

g(b_n)−g(a_n),

– si g(wn) = 0 alorsan+1=an et bn+1=bn, sig(an)g(wn)<0 alorsan+1=an et bn+1=wn, sig(an)g(wn)>0 alorsan+1=wn etbn+1=bn. Th´eor`eme

Soitg∈C²([a, b],R), telle queg(a)g(b)<0.

Supposons queg⁰⁰ est de signe constant sur [a, b].

Alors, la suite (wn)n∈Ndéfinie par la méthode de la fausse position converge vers l’unique zéroα∈]a, b[

deg.

3.3 M´ ethodes de point fixe

Lien point fixe / z´ero A la base

– Réécriture du problèmeg(s) = 0 enh(s) =s

– Exemples : h(s) =s−g(s),h(s) =s−λg(s) (λ6= 0) D´efinition

αest unpoint fixedehsi h(α) =α Choix de h

Le choix dehdoit garantir :

αpoint fixe deh⇐⇒ αz´ero deg Principe des m´ethodes de point fixe

Une méthode de point fixeconsiste en une suite itérative (xn)_n∈Ndéfinie par (x0 donné,

x_n+1 =h(x_n),∀n∈N – sihest continue et si limx_n =αalorsα=h(α) :

αest un point fixe deh.... donc un z´ero deg – `a quelles conditions la suite (x_n)_n∈_Nest-elle convergente ?

(9)

Exemples o`u la m´ethode converge

Exemples o`u la m´ethode diverge

Vers le théorème du point fixe de Banach Définition

h: I⊂R → R x 7→ h(x)

On dit quehest uneapplication contractantesurI s’il existe 0≤K <1 tel que

∀x, y∈I |h(x)−h(y)| ≤K|x−y|.

(10)

Remarques

– hcontractante =⇒hcontinue.

– sihest d´erivable surI et s’il existe 0≤K <1 tel que

|h⁰(x)| ≤K ∀x∈I alorshest contractante (th´eor`eme des accroissements finis).

Enoncé du théorème de point fixe de Banach

Th´eor`eme

Soith:I⊂R→R. On suppose :

– I est un intervalle ferm´e non vide deR, – h(I)⊂I(∀x∈I,h(x)∈I),

– hest contractante surI.

Alors,hadmet un unique point fixeα∈I.

Démonstration du théorème de point fixe Unicité

Par l’absurde.

Existence

Construction de la suite :

(x₀ donn´e,

xn+1=h(xn),∀n∈N. – (xn)n∈Nest une suite de Cauchy dansI, ferm´e deR, – elle converge vers α∈I,

– α=h(α) (hcontinue).

Convergence globale des méthodes de point fixe Théorème

Soith:I⊂R→R. On suppose :

– I est un intervalle ferm´e non vide deR, – h(I)⊂I(∀x∈I,h(x)∈I),

– hest contractante surI.

Alors, la suite (xn)_n∈_N d´efinie par xn+1 =h(xn) (x0 donn´e) converge vers l’unique point fixeα∈Ideh.

De plus,

∀n∈N, |xn+1−α| ≤K|xn−α|, avecK∈[0,1[,

ß la convergence est au moins lin´eaire.

(11)

Convergence locale des méthodes de point fixe Théorème

Soith:I⊂R→R. On suppose : – hest de classeC¹ surI,

– hpossède un point fixeαsitué dans l’intérieur deI – |h⁰(α)|<1.

Alors, il existeρ >0 tel que toute suite (xn)_n∈Nd´efinie par (xn+1=h(xn)

x₀∈[α−ρ, α+ρ] est convergente, de limiteα.

– Convergence globale :

hcontractante sur toutI,x₀ quelconque dansI, – Convergence locale :

hcontractante au voisinage deα, x0 proche deα.

Ordre des m´ethodes de point fixe ? Convergence au moins lin´eaire

xn+1= h(xn) α= h(α)

)

=⇒x_n+1−α=h(x_n)−h(α) d’o`u|xn+1−α| ≤K|xn−α|

Cas particulier : h∈C²(I,R), h⁰(α) = 0 h(x_n)

| {z }

= h(α)

| {z }

+ h⁰(α)(x_n−α)

| {z }

+h⁰⁰(ξ_n)(x_n−α)² 2 xn+1 = α + 0 +h⁰⁰(ξn)(xn−α)²

2 Par cons´equent|xn+1−α| ≤ sup|h⁰⁰|

2 |xn−α|²

ßConvergence au moins quadratique sih⁰(α) = 0

3.4 M´ ethode de Newton

Principe de la m´ethode de Newton

(12)

– g∈C¹(I,R) – x0∈I – g⁰(x₀)6= 0

– Tangente `a la courbe au point (x₀, g(x₀)) :

Y −g(x₀) =g⁰(x₀)(X−x₀) – Intersection avec l’axe des abscisses : x1=x0− g(x0)

g⁰(x0). – Si g⁰(x1)6= 0, on peut it´erer le processus...

Convergence de la méthode de Newton Définition de la méthode







x0 donn´e

x_n+1=x_n− g(xn) g⁰(x_n) ß M´ethode de point fixe avech(x) =x− g(x)

g⁰(x). ß Si g⁰(α)6= 0, on a bieng(α) = 0⇐⇒h(α) =α.

Convergence et ordre On supposeg∈C²(I,R),α∈I.

h⁰(x) = g(x)g⁰⁰(x) g⁰(x)² ß h⁰(α) = 0

ß Convergence locale de la m´ethode + convergence quadratique Convergence de la m´ethode de Newton

Th´eor`eme

Soitg∈C²(I,R) une fonction admettant un z´eroαdans l’int´erieur de I. On suppose que g⁰(α)6= 0.

Alors, il existeρ >0 tel que, pour toutx₀∈]α−ρ, α+ρ[, la suite de la methode de Newton







x0∈]α−ρ, α+ρ[

xn+1=xn− g(xn) g⁰(xn) est bien d´efinie et converge versα.

De plus, la convergence est au moins quadratique.

Attention :la convergence est locale ! ! ! Variante : la m´ethode de la s´ecante

ß Point faible de la méthode de Newton : nécessite le calcule d’une dérivée (g⁰(xn)) à chaque itération ß Idée : remplacer la dérivéeg⁰(x_n) par un taux d’accroissement :

g(xn)−g(x_n−1) x_n−x_n−1 M´ethode de la s´ecante







x0, x1donn´es

xn+1=xn−g(xn) xn−xn−1

g(xn)−g(x_n−1)

(13)

Convergence de la méthode de la sécante Théorème

Soitg ∈C²(I,R) une fonction admettant un z´eroαdans l’int´erieur deI. On suppose que g⁰(α)6= 0.

Alors, il existeρ >0 tel que, pour toutx₀, x₁∈]α−ρ, α+ρ[, la suite de la methode de la s´ecante







x0, x1 donn´es

x_n+1=x_n−g(x_n) xn−x_n−1 g(x_n)−g(x_n−1) est bien d´efinie et converge versα.

Attention :la convergence est toujours locale ! ! ! Résolution d’un système d’équations non linéaires

Soit

G : U ⊂R^N → R^N





 x₁

... xN





 7→







G₁(x₁, . . . , x_N) ... GN(x1, . . . , xN)







L’objectif est de d´eterminer α=





 α₁

... α_N





solution de

G(α) = 0⇐⇒











G1(α1, α2, . . . , αN) = 0, G₂(α₁, α₂, . . . , α_N) = 0,

...

G_N(α₁, α₂, . . . , α_N) = 0.

Méthode de Newton pour un système d’équations La méthode de Newton s’écrit dans ce cas :







X⁽⁰⁾ = (x⁽⁰⁾₁ , x⁽⁰⁾₂ , . . . , x⁽⁰⁾_N ) donn´e

X^(k+1)=X^(k)−(J G(X^(k)))⁻¹G(X^(k)), ∀k≥0.

Remarques

– J G(X) désigne la matrice jacobienne de l’applicationGévaluée au pointX.

– En pratique, on ne calcule pas l’inverse de la matrice jacobienne mais on résout le système linéaire : J G(X^(k))Z^(k)=G(X^(k)),

puis on en d´eduitX^(k+1)=X^(k)−Z^(k).

(14)

Approximations polynomiales et trigonom´ etriques

1 Motivation, exemples

Evaluation d’une fonction

– Quelles fonctions (f :R→R) sait-on calculer en tout point ?

−→les fonctions “puissance” :f(x) =x^m, m∈N

−→les fonctions polynomiales :

f(x) =a₀+a₁x+a₂x²+· · ·+a_mx^m

– Comment calculer les valeurs d’une fonction ”quelconque” en un point ? ex :f(x) = cos(x),f(x) = exp(x),f(x) = sin(x) exp(x),...

−→approximation par une fonction polynomiale

ß Différentes techniques d’approximation à étudier ! ! Interpolation de Lagrange

f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3) Polynˆome d’interpolation de Lagrange

4 points sur la courbe : P polynˆome de degr´e≤3 tel que (−1,−4), (1,4), P(−1) =−4,P(1) =4,

(2,0), (3,−12) P(2) =0,P(3) =−12 Avec 6 points

f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3) Polynˆome d’interpolation de Lagrange

6 points sur la courbe : P polynˆome de degr´e≤5 tel que (x_i,y_i)_0≤i≤5, P(x_i) =y_i pour 0≤i≤5

Remarque : en dehors de l’intervalle défini par les (xi), le polynôme d’interpolation de Lagrange est très différent def.

(15)

Interpolation par morceaux f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3) approximation affine par morceaux idem avec plus de points

Applications : Calcul de la valeur approch´ee de – la longueur de la courbe

– de l’aire sous la courbe (ici : Z 5

−5

f(x)dx) Splines cubiques

f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3) sspline cubique idem avec plus de points

Principe :

– entre deux points consécutifs,sest un polynôme de degré≤3 – s(xi) =f(xi)

– s∈ C²

– + deux conditions aux bords Courbes de B´ezier

– P₀, P₁,· · · , P_n, sontn+ 1 points de contrˆole

(16)

– La courbe de Bézier est définie par le paramétrage M(t) =

n

X

i=0

B_nⁱ(t)Pi, 0≤t≤1 où lesB_nⁱ sont les polynômes de Bernstein définis par

B_nⁱ =C_nⁱXⁱ(1−X)ⁿ⁻ⁱ, avecC_nⁱ = n!

i!(n−i)!. Courbes de B´ezier : avec plus de points

Application : courbes de B´ezier par morceaux

Approximation au sens des moindres carr´es – Etude de s´eries statistiques

HX : niveau de bruit environnant (en dB), HY : temps d’ex´ecution d’une tˆache (en minutes)

X 73 78 76 63 81 70 75 81 79 84 50 76 65 58 Y 77 85 79 67 83 73 72 83 81 82 52 77 65 58

(17)

– Une mesure physique est toujours entˆach´ee d’in- certitudes. Peut-on trouver une loi liant Y et X : Y =f(X) ?

– Peut-on pr´evoir la valeur deY pourX = 66dB ?

Approximation au sens des moindres carr´es

Principe

– On chercheaet btels que

d(a, b) =X

(yi−(axi+b))² est minimale.

– La droitey=ax+best appelée droite de régression linéaire.

Le polynômeP =aX+b est le polynôme d’approximation du nuage de points au sens des moindres carrés.

Approximation d’une fonction 2π-p´eriodique

– Approcherf par une fonction polynomiale n’a pas de sens.

– Approximation par des fonctions périodiques élémentaires : ß les polynômes dits ”trigonométriques”.

PN(t) =a0+

N

X

n=1

ancos(nt) +

N

X

n=1

bnsin(nt) – Quelle est la qualit´e de l’approximation ?

(18)

Approximation d’une fonction 2π-p´eriodique







bn = 0,∀n≥1,

a2k= 0, a2k+1 = 8

π²(2k+ 1)²,∀k≥0.

2 Interpolation de Lagrange

2.1 Etude d’un exemple

Interpolation de Lagrange avec 1 point f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3)

1 point sur la courbe : P0, de degr´e≤0, tel que

(x₀, y₀) = (1,4) P₀(x₀) =y₀ P₀= 4

Interpolation de Lagrange avec 2 points f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3)

2 points sur la courbe : P1, de degr´e≤1, tel que

(x0, y0) = (1,4), (x1, y1) = (−1,−4) P1(x0) =y0 et P1(x1) =y1 P1= 4X

(19)

Interpolation de Lagrange avec 3 points f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3)

3 points sur la courbe : P2, de degr´e≤2, tel que (x₀, y₀) = (1,4) P₂(x₀) =y₀, (x₁, y₁) = (−1,−4) P₂(x₁) =y₁, (x₂, y₂) = (3,−12) etP₂(x₂) =y₂ Calcul du polynˆome d’interpolation de Lagrange

Id´ee

– ChercherL₀, tel que degL₀= 2 et

L₀(x₁) =L₀(x₂) = 0 etL₀(x₀) = 1.

– ChercherL1, tel que degL1= 2 et

L1(x0) =L1(x2) = 0 etL1(x1) = 1.

– ChercherL2, tel que degL0= 2 et

L2(x0) =L2(x1) = 0 etL2(x2) = 1.

– Montrer queP2=y0L0+y1L1+y2L2 est solution.

áP2=−3X²+ 4X+ 3 Calcul du polynˆome d’interpolation de Lagrange

Une autre id´ee

– P1= 4X v´erifieP1(1) = 4,P1(−1) =−4 et degP1= 1.

– Q= (X+ 1)(X−1) v´erifieQ(1) =Q(−1) = 0 et degQ= 2 (en faitQ=−L2).

– ChercherP2sous la forme

P2=P1+αQ= 4X+α(X+ 1)(X−1).

– P₂(3) =−12⇐⇒α=−3 et

P2= 4X−3(X+ 1)(X−1) =−3X²+ 4X+ 3

(20)

2.2 R´ esultats th´ eoriques

Le probl`eme de l’interpolation de Lagrange Formulation du probl`eme

Etant donn´es (n+ 1) points :

(x_i, y_i)_0≤i≤n avec (x_i, y_i)∈R² pour touti, avecx_i6=x_j pour touti6=j.

Peut-on trouver un polynômeP à coefficients réels tel que P(x_i) =y_i ∀0≤i≤n?

Degr´e de P?

nombre d’´equations :n+ 1

Þnombre d’inconnues (coefficients (ai)) inf´erieur `an+ 1 ÞdegP ≤n:P ∈Rn[X].

Théorème d’existence et unicité Hypothèses :

– (xi, yi)0≤i≤n sont (n+ 1) points donn´es deR², – xi6=xj pour touti6=j

Alors, il existe un unique polynˆomeP ∈Rn[X] satisfaisant P(x_i) =y_i ∀0≤i≤n.

P est lepolynˆome d’interpolation de Lagrange aux points (x_i, y_i)_0≤i≤n.

Siyi=f(xi) pour tout 0≤i≤n(fest une fonction donn´ee), on dit quePest lepolynˆome d’interpolation de Lagrange def aux points (xi)_0≤i≤n.

Démonstration du théorème d’existence et d’unicité Preuve “algébrique”

– On se donne (xi)0≤i≤n∈Rⁿ⁺¹,n+ 1 points distincts.

– Consid´erons l’application :

Φ : Rn[X] → Rⁿ⁺¹

P 7→ (P(x_i))_0≤i≤n – Cette application est injective donc bijective, donc :

pour tout (y_i)_0≤i≤n∈Rⁿ⁺¹, il existe un uniqueP ∈Rn[X] tel que P(x_i) =y_i ∀0≤i≤n.

Démonstration du théorème d’existence et d’unicité Preuve “constructive”

– On d´efinit les polynˆomes (Lj)_0≤j≤n :

L_j =

n

Y

i=0,i6=j

X−x_i xj−xi

.

– degLj=n ∀0≤j ≤net Lj(xi) =δi,j ∀i, j.

– existence :P =

n

X

j=0

yjLj est solution du probl`eme .

(21)

– unicit´e : P, Qdeux solutions, on a alors :

(P−Q)(xi) = 0∀0≤i≤n, d’o`uP−Q= 0.

Remarque

La famille (Lj)0≤j≤n est une base deRn[X], appel´ee base de Lagrange.

Qualit´e de l’approximation de f parP? Comparaison de f et P (4 points)

E(x) =f(x)−P(x) zoom autour des points

Qualit´e de l’approximation de f parP? Comparaison de f et P (6 points)

E(x) =f(x)−P(x) zoom autour des points

Que peut-on dire sur l’erreurE(x) ? Peut-elle ˆetre born´ee ?...

Théorème sur l’erreur d’interpolation Hypothèses :

– f : [a, b]→R,f ∈ Cⁿ⁺¹([a, b]),

– (xi)_0≤i≤n,n+ 1 r´eels distincts de l’intervalle [a, b].

Pn : polynôme d’interpolation de Lagrange def aux points (xi)_0≤i≤n. Π_n : polynôme défini par Π_n=

n

Y

i=0

(X−x_i).

Alors, pour toutx∈[a, b], il existeξx∈[a, b] tel que f(x)−Pn(x) = 1

(n+ 1)!Πn(x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξx).

(22)

Corollaire

– Une conséquence du théorème est :

∀x∈[a, b] |f(x)−Pn(x)| ≤ 1

(n+ 1)!Mn+1|Πn(x)|,

avec Mn+1= max

ξ∈[a,b]|f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)|.

– Cela n’implique pas la convergence simple dePn versf. – Cela n’est pas n´ecessairement int´eressant d’augmentern.

2.3 Calcul pratique du polynˆ ome

Choix de la base ?

Soit (x_i, y_i)_0≤i≤n et P_n le polynˆome d’interpolation en ces points.

– Expression de Pn dans la base de Lagrange

Pn =

n

X

j=0

yjLj avecLj=

n

Y

i=0,i6=j

(X−xi)

n

Y

i=0,i6=j

(xj−xi) .

– Inconv´enient majeur :

si on rajoute un point (x_n+1, y_n+1), on repart de z´ero : ß calcul de la nouvelle base de Lagrange (deRn+1[X]), ß expression deP_n+1.

Choix de la base ? – Autre base deRn[X] :



1,(X−x0),(X−x0)(X−x1),· · ·,

n−1

Y

j=0

(X−xj)



.

– Expression de P_n dans cette nouvelle base :

Pn=α0+α1(X−x0) +· · ·+αn n−1

Y

j=0

(X−xj).

– Avantage :

(23)

si on rajoute un point (xn+1, yn+1) , on a :

Pn+1=Pn+αn+1 n

Y

j=0

(X−xj) ß il suffit de calculerα_n+1 pour obtenirP_n+1.

Algorithme de H¨orner

Pn(x) = α0+α1(x−x0) +· · ·+αn n−1

Y

j=0

(x−xj)

= α0+ (x−x0)

α1+ (x−x1)

α2+ · · · .

Calcul de p=P_n(x)

p←αn

pourkden−1 `a 0 p←αk+ (x−xk)p fin pour

ÞN´ecessite le calcul pr´ealable desα_i! Calcul des αi

– n= 0, 1 seul point (x₀, y₀),P₀=α₀:

P0(x0) =y0=⇒α0=y0

– n= 1, + (x1, y1),P1=y0+α1(X−x0) :

P₁(x₁) =y₁=⇒α₁= y₁−y₀ x1−x0

– n= 2, + (x2, y2),

P2=y0+ y1−y0

x1−x0

(X−x0) +α2(X−x0)(X−x1)

P₂(x₂) =y₂=⇒α₂=

y2−y1

x₂−x₁ − y1−y0

x₁−x₀ x2−x0

Formule de r´ecurrence Supposons connus :

– Pn−1, polynˆome d’interpolation aux points (xi, yi)0≤i≤n−1, P_n−1=α₀+

n−1

X

j=1

α_j

j−1

Y

k=0

(X−x_k), (α_j)_{0≤j≤n−1} – Q_n−1, polynˆome d’interpolation aux points (xi, yi)_1≤i≤n,

Qn−1=β0+

n−1

X

j=1

βj j

Y

k=1

(X−xk), (βj)0≤j≤n−1

(24)

Alors,

X−x₀ xn−x0

Q_n−1+ x_n−X xn−x0

P_n−1=P_n et

αn =β_n−1−α_n−1 xn−x0

.

Les diff´erences divis´ees

x0 ∇⁰[x0]

x1 ∇⁰[x1] ∇⁰[x1]− ∇⁰[x0] x1−x0

x₂ ∇⁰[x₂] ∇⁰[x₂]− ∇⁰[x₁] x2−x1

∇¹[x₁, x₂]− ∇¹[x₀, x₁] x2−x0

... ... ... ... . ..

x_n−1 ∇⁰[x_n−1] ∇⁰[x_n−1]− ∇⁰[x_n−2] x_n−1−x_n−2

∇¹[x_n−2, x_n−1]− ∇¹[x_n−3, x_n−2] x_n−1−x_n−3

. ..

xn ∇⁰[xn] ∇⁰[xn]− ∇⁰[xn−1] xn−x_n−1

∇¹[xn−1, xn]− ∇¹[xn−2, xn−1]

xn−x_n−2 · · · ∇ⁿ[x0,· · · , xn] avec

∇ⁿ[x0,· · ·, xn] = ∇ⁿ⁻¹[x1,· · · , xn]− ∇ⁿ⁻¹[x0,· · ·, x_n−1]

x_n−x₀ .

Les diff´erences divis´ees x0 ∇⁰[x0]

x1 ∇⁰[x1] ∇¹[x0, x1]

x2 ∇⁰[x2] ∇¹[x1, x2] ∇²[x0, x1, x2]

... ... ... ... . ..

x_n−1 ∇⁰[x_n−1] . . . . ..

x_n ∇⁰[x_n] ∇¹[x_n−1, x_n] ∇²[x_n−2, x_n−1, x_n] · · · ∇ⁿ[x₀,· · ·, x_n]

Þ P_n=∇⁰[x₀]+∇¹[x₀, x₁](X−x₀) +∇²[x₀, x₁, x₂](X−x₀)(X−x₁)

+· · ·+∇ⁿ[x0,· · ·, xn]

n−1

Y

j=0

(X−xj).

(25)

Synthèse Théorème

Le polynˆome d’interpolation de Lagrange aux points (xi, yi)_0≤i≤n s’´ecrit Pn =∇⁰[x0] +

n

X

j=1

∇^j[x0,· · · , xj]

j−1

Y

k=0

(X−xk), où les∇^j[ ] sont les différences divisées d’ordrej définies par récurrence :

∇⁰[xi] =yi pour 0≤i≤n

∇^j[x_i,· · ·, x_i+j] = ∇^j−1[x_i+1,· · · , x_i+j]− ∇^j−1[x_i,· · · , x_i+j−1] xi+j−xi

pour 0≤i≤n−j,1≤j≤n.

Cas o`uyi =f(xi)

Théorème Le polynôme d’interpolation de Lagrange def aux points (xi)_0≤i≤n s’écrit Pn =f[x0] +

n

X

j=1

f[x0,· · · , xj]

j−1

Y

k=0

(X−xk), où lesf[ ] sont les différences divisées définies par récurrence :

f[xi] =f(xi) pour 0≤i≤n

f[x_i,· · ·, x_i+j] = f[x_i+1,· · · , x_i+j]−f[x_i,· · · , x_i+j−1] xi+j−xi

pour 0≤i≤n−j,1≤j≤n.

3 Interpolation de Hermite

3.1 Pr´ esentation du probl` eme

Un exemple

f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3) – Soit deux points : (x0, y0) = (−1,−4) (x₁, y₁) = (3,−12) – ChercherP tel que

P(x₀) =f(x₀), P(x₁) =f(x₁) – ChercherQtel que

Q(x0) =f(x0), Q(x1) =f(x1) Q⁰(x₀) =f⁰(x₀), Q⁰(x₁) =f⁰(x₁)

(26)

P = −4−2(X+ 1) =−6−2X Q = P+ (X+ 1)(X−3)(αX+β)

= P+ (X+ 1)(X−3)(−1)

= −X²−3 Avec deux autres points

f(x) = sin(πx

2 )(x²+ 3)

P = 0

Q = −π

2X³+π

4X²+3π 2 X Le probl`eme de l’interpolation de Hermite

Généralités

L’interpolation de Hermite prend en compte

– les valeurs de la fonction en certains points (xi)_0≤i≤k,

– les valeurs des dérivées successives de la fonction jusqu’à l’ordreαi enxi. Formulation du problème

– f, une fonction suffisamment r´eguli`ere sur [a, b], – x0, . . . , xk, (k+ 1) points distincts de [a, b], – α0, . . . , αk, (k+ 1) entiers.

Est-il possible de trouver un polynˆomeP tel que

∀0≤i≤k, P^(j)(xi) =f^(j)(xi),∀0≤j≤αi ?

3.2 R´ esultats th´ eoriques

Analyse de la question Degr´e de P?

– Nombre d’´equations :

k

X

i=0

(αi+ 1) =k+ 1 +

k

X

i=0

αi.

(27)

– Degr´e :n=k+

k

X

i=0

αi. D´efinition

P est lepolynˆome d’interpolation de Hermite def aux points (xi)0≤i≤k avec les ordres (αi)0≤i≤k.

Existence et unicité + erreur d’interpolation Théorème

Hypoth`eses :

– (xi)_0≤i≤k, (k+1) points distincts de [a, b],

– (αi)_0≤i≤k, (k+1) entiers, n=k+

k

X

i=0

αi

– f : [a, b]→R,f ∈ Cⁿ⁺¹([a, b]),

Alors, il existe un unique polynˆomeP_n∈Rn[X] tel que

∀0≤i≤k, P_n^(j)(xi) =f^(j)(xi),∀0≤j≤αi. De plus, pour toutx∈[a, b], il existeξx∈[a, b] tel que

f(x)−P_n(x) = 1

(n+ 1)!Ω_n(x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ_x), o`u Ωn=

k

Y

i=0

(X−xi)^αⁱ⁺¹.

(28)

Int´ egration num´ erique

1 Motivation

Exemple : f(x) = cos(πx)√ x²+ 1

Peut-on calculerJ = Z 2

0

f(x)dx?

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

ß pas d’expression exacte deJ ß calcul d’une valeur approch´ee ?

(29)

M´ethode des rectangles `a gauche

Approximation par une fonction constante par morceaux

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

21 points 20 sous-intervalles

M´ethode des rectangles `a droite

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

(30)

M´ethode des rectangles au point milieu

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

M´ethode des trap`ezes

Approximation par une fonction affine par morceaux

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

(31)

Comparaison des diff´erentes m´ethodes (20 sous-intervalles)

RAG RAD

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

I=0.019664765868385 I=0.143271563618364

RPM Trap`ezes

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

I=0.080343177070866 I=0.081468164743374

(32)

Comparaison des diff´erentes m´ethodes (100 ss-intervalles)

RAG RAD

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

I=0.068388241234746 I=0.093109600784742

RPM Trap`ezes

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

I=0.080704188569061 I=0.080748921009744

(33)

2 Formules de quadrature

2.1 Principe

Définition d’une méthode d’intégration numérique Soitf : [a, b]→R(a < b) une fonction continue

a

b x f(x)

But : calculer une valeur approch´ee de J(f) =

Z b a

f(x)dx.

Une formule d’intégration numérique ou formule de quadratureest une approximation de J(f) par une combinaison linéaire d’évaluations de la fonctionf en des points de [a, b] donnés.

Réduction à des formules élémentaires de quadrature

x0

xN

x f(x)

xk

xk+1

But : calculer une valeur approch´ee de J(f) =

Z b a

f(x)dx.

Subdivision : a=x0< x1< . . . < xk< xk+1< . . . < xN =b Pas : h= maxh_k o`u (h_k=x_k+1−x_k)_0≤k≤N₋₁

Formule de Chasles :

Z b a

f(x)dx=

N−1

X

k=0

Z x_k+1 x_k

f(x)dx

ß formules de quadrature sur des intervalles ´elementaires

2.2 Exemples

M´ethode des rectangles `a gauche

xk xk+1

Z x_k+1 xk

f(x)dx≈(xk+1−xk)f(xk)

(34)

Z b a

f(x)dx≈

N−1

X

k=0

(x_k+1−x_k)f(x_k)

M´ethode des rectangles `a droite

xk xk+1

Z x_k+1 xk

f(x)dx≈(xk+1−xk)f(xk+1)

Z b a

f(x)dx≈

N−1

X

k=0

(xk+1−xk)f(xk+1)

M´ethode des rectangles au point milieu

xk xk+1 x_k+x_k+1

2

Z xk+1

x_k

f(x)dx≈(x_k+1−x_k)fx_k+x_k+1 2

Z b a

f(x)dx≈

N−1

X

k=0

(x_k+1−x_k)fxk+xk+1

2

M´ethode des trap`ezes

xk xk+1

Z xk+1

x_k

f(x)dx≈(x_k+1−x_k)

f(x_k) +f(x_k+1) 2

(35)

Z b a

f(x)dx≈

N−1

X

k=0

(x_k+1−x_k)

f(x_k) +f(x_k+1) 2

2.3 Formalisme g´ en´ eral

Changement de variables pour se ramener `a [−1,1]

De [xk, xk+1] `a [−1,1]







x= xk+xk+1

2 +xk+1−xk

2 s

dx= xk+1−xk

2 ds

Z xk+1

x_k

f(x)dx= x_k+1−x_k 2

Z 1

−1

f

x_k+x_k+1

2 +x_k+1−x_k

2 s

ds

= xk+1−xk

2

Z 1

−1

ϕk(s)ds.

ß formule de quadrature pour Z 1

−1

ϕ(s)ds? Formule de quadrature ´el´ementaire sur [−1,1]

D´efinition

Une formule de quadrature ´el´ementaireJ^QE(ϕ) pour approcherJ(ϕ) = Z 1

−1

ϕ(s)dsest de la forme J^QE(ϕ) =

l

X

j=0

ωjϕ(τj) avec

– l∈N,

– τj∈[−1,1] pour 0≤j≤l (l+ 1 points), –

l

X

j=0

ωj= 2.

Exemples

– Rectangles aux points milieux : l= 0,τ₀= 0, ω₀= 2, – Trap`ezes :l= 1, τ₀=−1, τ₁= 1,ω₀=ω₁= 1.

Formule de quadrature ´el´ementaire sur [xk, xk+1] Changement de variables

Z xk+1

x_k

f(x)dx= xk+1−xk

2

Z 1

−1

f

xk+xk+1

2 +xk+1−xk

2 s

ds

Application de la formule sur [−1,1]

ϕ_k(s) =f

x_k+x_k+1

2 +x_k+1−x_k

2 s

ß J^QE(ϕk) =

l

X

j=0

ωjf(xk+xk+1

2 +xk+1−xk

2 τj)

(36)

On d´efinit

J^QE(f) = x_k+1−x_k 2

l

X

j=0

ωjf(x_k+x_k+1

2 +x_k+1−x_k 2 τj) ßPosonsλj= ω_j

2 ,τkj=x_k+x_k+1

2 +x_k+1−x_k 2 τj

Formule de quadrature ´el´ementaire sur [xk, xk+1]

Une formule de quadrature ´el´ementaireJ^QE(f) pour approcherJ(f) = Z x_k+1

xk

f(x)dxest de la forme

J^QE(f) = (xk+1−xk)

l

X

j=0

λjf(τkj) avec

– l∈N,

– τkj∈[xk, xk+1] pour 0≤j≤l, –

l

X

j=0

λ_j= 1.

Conclusion : forme générale d’une formule composée

On applique la formule de Chasles pour d´efinir la formule de quadrature compos´eeJ_h^QC(f), approximation de

Z b a

f(x)dx :

J_h^QC(f) =

N−1

X

k=0

(xk+1−xk)

l

X

j=0

λjf(τkj) avec

– l∈N,

– τ_kj∈[x_k, x_k+1] pour 0≤j ≤l, 0≤k≤N−1, –

l

X

j=0

λ_j= 1.

3 Ordre et estimation d’erreur

3.1 Ordre d’une m´ ethode d’int´ egration num´ erique

D´efinition de la notion d’ordre D´efinition

Une m´ethode de quadrature estd’ordrepsi

– elle est exacte pour tt polynôme de degré inférieur ou égal à p, – elle est inexacte pour au moins un polynôme de degrép+ 1.

Comment déterminer l’ordre d’une formule de quadrature ? On vérifie que la formule élémentaireJ^QE(ϕ) =

l

X

j=0

ωjϕ(τj) est

– exacte (c’est-`a-direJ^QE(ϕ) =J(ϕ)) pour les fonctions ϕ: x7→1,x7→x, . . . ,x7→x^p, – inexactepourx7→x^p+1.

(linéarité de l’intégrale et des formules de quadrature)

(37)

Exemples

Rectangles `a gauche áordre 0

J^QE(ϕ) = 2ϕ(−1)

J^QE(x7→1) = 2 =J(x7→1)

J^QE(x7→x) =−2 6=J(x7→x)(= 0)

Rectangles `a droite á ordre 0

J^QE(ϕ) = 2ϕ(1)

J^QE(x7→1) = 2 =J(x7→1)

J^QE(x7→x) = 2 6=J(x7→x)(= 0) Exemples

Rectangles aux points milieux áordre 1

J^QE(ϕ) = 2ϕ(0)

J^QE(x7→1) = 2 =J(x7→1)

J^QE(x7→x) = 0 =J(x7→x)

J^QE(x7→x²) = 0 6=J(x7→x²)(= 2 3) Trap`ezes áordre 1

J^QE(ϕ) = ϕ(−1) +ϕ(1)

J^QE(x7→1) = 2 =J(x7→1)

J^QE(x7→x) = 0 =J(x7→x)

J^QE(x7→x²) = 2 6=J(x7→x²)

3.2 Estimation d’erreur

Comment estimer l’efficacit´e d’une formule de quadrature ? Z b

a

f(x)dx

| {z }

≈

N−1

X

k=0

(x_k+1−x_k)

l

X

j=0

λ_jf(τ_kj)

| {z }

J(f) J_h^QC(f)

On veut que, pour toute fonction f,

– J_h^QC(f)→J(f) quandhtend vers 0 (N tend vers +∞),

– l’erreur Ef(h) =|J_h^QC(f)−J(f)|tende vers 0 “le plus rapidement possible”.

En particulier, siEf(h) =Cfh^α, la formule de quadrature est d’autant plus pr´ecise queαest grand.

(38)

Comparaison de m´ethodes classiques Cas test

f(x) =xsinx, a= 0, b= π 2, I=

Z π/2 0

f(x)dx= 1.

Vitesse de convergence

Ef(h) =Cfh^α – RAG :α= 1,

– RPM :α= 2, – Trap`ezes :α= 2.

Lien entre l’ordre et la vitesse de convergence Th´eor`eme (admis)

Soit

– J^QE(f) une formule ´el´ementaire d’ordrep

– J_h^QC(f) la formule composée associée (également d’ordrep), approximation deJ(f) = Z b

a

f(x)dx Alors, sif ∈ C^p+1([a, b]), il existe une constanteC_f telle que

|J_h^QC(f)−J(f)|

| {z }

≤ C_fh^p+1. E_f(h)

ß Une formule d’ordrepconverge commeh^p+1.

ß Une formule de quadrature est d’autant plus précise que son ordre est élevé.

Exemples

Rectangles `a gauche f ∈ C¹([a, b])

Z b a

f(x)dx−

N−1

X

k=0

(x_k+1−x_k)f(x_k)

≤ b−a 2 max

[a,b] |f⁰|h.

Rectangles aux points milieux f ∈ C²([a, b])

Z b a

f(x)dx−

N−1

X

k=0

(xk+1−xk)fx_k+x_k+1 2

≤ b−a 24 max

[a,b] |f⁰⁰|h².