Chapitre VI Méthodes Itératives – Equations Non Linéaires

(1)

Chapitre VI

Méthodes Itératives – Equations Non Linéaires

En pratique, on est souvent confronté à la résolution d’un système d’équations non linéaires. C’est-

`a-dire pour une fonction

donn´ee, on cherche un point

tel que

(0.1)

En général, il n’y a pas d’algorithme fini pour trouver une solution. On est donc obligé d’utiliser des méthodes itératives.

Sans hypoth`eses suppl´ementaires, on ne sait rien sur l’existence d’une solution de (0.1). Par exemple, pour

il n’y a pas de solution, pour

! il y en a une infinité. Mais, le théorème d’inversion locale nous fournit un résultat sur l’unicité locale: si

#"

$% et si la matrice jacobienne '&()"

est inversible, il existe un voisinage ^* de^" et un voisinage ⁺ de tels que

,

* + soit bijective. Ceci implique que

"

est la seule solution de (0.1) dans le voisinage

* de

"

.

Bibliographie sur ce chapitre

P. Deuflhard (2004): Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms. Springer Ser. Comp. Math. 35, Springer, Berlin.

J.M. Ortega & W.C. Rheinboldt (1970): Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Vari- ables. Academic Press, New York.

A.M. Ostrowski (1966): Solution of Equations and Systems of Equations. Academic Press, New York, 2nd edition. [MA 65/27]

VI.1 M´ethode des approximations successives

On considère le problème du calcul d’un point fixe de l’application ^- ^.^/ ⁰ ; c.-à-d., on cherche

tel que

12-

3 (1.1)

Les problèmes (0.1) et (1.1) sont équivalents et il y a beaucoup de possibilités pour écrire (0.1) sous la forme (1.1). Par exemple, on peut définir ^- comme^-

4576

ou ^-

4896;:

(ici^: est soit un nombre non-nul, soit une matrice bien choisie).

Pour résoudre (1.1), on se donne une approximation initiale ^< (arbitraire) et on considère la méthode itérative

>=@?BAC2-

>=D (1.2)

(2)

Si la suite^EF>=DG converge, disons vers^" , et si la fonction^- est continue en ^" , la limite^"

est une solution de (1.1). Mais que peut-on dire sur l’erreur?

Théorème 1.1 Si^- est^H fois continûment différentiable et si^" est une solution de (1.1), l’erreur^=4I>=6

"

satisfait

=J?BA2-

&

#"

=KML 3N

= NPO

3 (1.3)

D´emonstration. Comme^" ^;- ^)" , on obtient

=J?BAQ>=J?BA6

"

-

>=D6M-

#"

-

&

)"

=.KIL N

= N O

On peut tirer plusieurs conclusions de la formule (1.3):

R si ^-

&S#"

possède une valeur propre ^TUA satisfaisant ^VWTUAJVYX ^Z , la composante de ⁼ dans la direction du vecteur propre^[\A va être agrandie – l’itération ne converge pas vers

"

.

R si toutes les valeurs propres de^-

& )"

satisfont V]T_^3Va`bZ , on peut choisir une norme dans

telle que pour la norme matricielle correspondante ^N ^-

&

#"

N

`cZ . Ceci et (1.3) impliquent que, pour

N

=

N

suffisamment petit, on a

N

=J?BA

NedgfN

=

N

o`u

f

est un nombre entre

N - & )"

N

et ^Z . L’erreur⁼ converge donc vers z´ero.

Exemple. Pour r´esoudre num´eriquement^h

&

i

hU , on peut appliquer la m´ethode d’Euler implicite

hAQhj<KMk

hAS (1.4)

qui définit implicitement l’approximation^hA de la solution après un pas de longueur ^k . L’équation (1.4) est déjà sous la forme (1.1) avec^- Qhj<CKMk

. Si^k est suffisamment petit, les valeurs propres de^-

&(

hBAPC2k '&S

hAP sont petites et l’it´eration (1.2) converge.

Critère pour arrêter l’itération. En pratique, on s’intéresse à une approximation^>= qui satis- fasse

N

>=6

"UNld

tol. Une possibilit´e est d’accepter^>= comme approximation de la solution d`es que

N

>=6m>=@nBA N.d

tol.

Le critère qui va suivre est basé sur l’hypothèse que^- soit une contraction et que

N

>=6m>=JnBA

Nd8fN

>=@nBA6o>=@n O N

avec ^f ^`gZF En appliquant l’inégalité du triangle à l’identité

>=6

"

>=.6m>=J?BApK

>=J?BAp6o>=J?

O

pKI@@

(en cas de convergence), on obtient

N

>=6

"UNd

f

Zi6 f N

>=6m>=JnBA

N (1.5)

Le facteur de contractivité peut être estimé par

f

=4

N

>=6o>=JnBA NFqN

>=JnBAp6m>=@n

O

NFr sut

H

L’idée est d’arrêter l’itération quand

f =

Z6 f = N

>=6m>=@nBA Nvd

tol (1.6)

et d’accepter^>= comme approximation de la solution.

(3)

0 10 20 10⁻⁸

10⁻⁶ 10⁻⁴ 10⁻² 10⁰

0 10 20

10⁻⁸ 10⁻⁶ 10⁻⁴ 10⁻² 10⁰

FIG. VI.1: Convergence des it´erations (1.7) Exemples. Pour les deux it´erations

>=J?BA

hj=J?BA

ZZ

KQxw

hj=

6oPy >=

r

>=@?BA

h=J?BA

6zj{Z

H

>=

hj=

(1.7) la norme euclidienne de l’erreur de

>=

r

hj=| est dessinée dans la figure VI.1 (à gauche pour la première itération et à droite pour la deuxième). On peut bien observer la convergence linéaire. Le rayon spectral de^- &()"

vaut^}~5)Zj et^}7~8xjj respectivement. C’est la raison pour laquelle

la première itération converge plus rapidement que la seconde. Le dessin à droite montre aussi que la convergence n’est pas nécessairement monotone (pour la norme

NUN

O ). Donc, le coefficient

f =

de (1.6) peut être plus grand que ^Z même si l’itération converge.

VI.2 Méthodes itératives pour systèmes linéaires

Pour la résolution des systèmes linéaires

,2

r

(2.1) il y a des situations où les méthodes itératives sont très utiles. Par exemple, si la matrice

possède une très grande dimension et si beaucoup d’éléments de

sont nuls (matrice creuse), ce qui est le cas pour les discrétisations des équations aux dérivées partielles.

Pour se ramener à un problème de point fixe, on considère une décomposition

62

(“splitting”) et on d´efinit l’it´eration

Q>=J?BA8u>=KI

r

2 6 (2.2)

Le choix de la d´ecomposition

6 est important pour la performance de la m´ethode.

D’une part, doit être choisie telle que le système (2.2) soit beaucoup plus facile à résoudre que le système (2.1). D’autre part, les valeurs propres de la matrice ^nBA doivent satisfaire ^{VWT^V`bZ} pour que l’itération (2.2) converge.

Il y a beaucoup de possibilités de définir la décomposition

2 6M . Si l’on d´enote

" O A . ..

... . .. . ..

" A @@

"

nBA r

*

" AO F@

" A

. .. ... ... . .. ^" ^nBA

et^\y

)"

AA

r

@@

r@"

F

(afin que

KM8KM* ) les it´erations les plus connues sont:

R Jacobi : ² , ²⁶ ^6* ;

R Gauss-Seidel : ^88K , ^86z* .

(4)

Pour ces deux méthodes, la matrice est choisie de manière à ce que le système (2.2) soit très facile à résoudre. Un avantage de la méthode de Gauss-Seidel est le fait que pour le calcul de la composante ^=J?BA^{^} du vecteur^>=J?BA on n’a besoin que des composantes ⁼^{^?BA}

r

@@

r = du vecteur

>= . Alors, on peut utiliser la mˆeme variable pour ^=@?BA^{^} que pour ⁼^{^} . Une it´eration devient donc

simplement:

for^Z

r

F@

r

>^

S^6

^nBA

A " ^ 6

3

^?BA

" ^ qj"

^^.

Une modification int´eressante de cet algorithme est la m´ethode SOR (“successive over-relaxation”):

>=J?BAC

Z6o.)>=YKm

1i6

>=J?BAp6*>=

(2.3) où est un paramètre donné (pour^Z , SOR se réduit à Gauss-Seidel). Elle est aussi simple à programmer que la précédente.

Les résultats suivants démontrent la convergence dans quelques situations particulières.

Th´eor`eme 2.1 Si la matrice

est “diagonale dominante”, c.-`a-d.

V"

^^3VjX

^ V" ^ V pour ^Z

r

F@

rr

(2.4) alors l’it´eration de Jacobi converge.

D´emonstration. Pour la m´ethode de Jacobi, on a ^nBA ^6z ^nBA ^K*¡ . La condition (2.4) implique que ^N ^nBA ^N@¢ ^`£Z (voir la formule (4.5) du chapitre IV).

Pour étudier la convergence de la méthode SOR (en particulier pour Gauss-Seidel), on l’écrit sous la forme équivalente

8K¤

#>=J?BA

Z6o.386mv*¡)>=K¤v

ou encore>=J?BA2¥

.)>=0K¤

2Ko

nBA

avec

¥

.

8Km

nBA

ZC6¤.356mv*¡3 (2.5)

Th´eor`eme 2.2 Si

est symétrique et définie positive et si^M ^r ^H , l’itération SOR, définie par (2.3), converge.

D´emonstration. Il faut d´emontrer que toutes les valeurs propres de^¥ ^. satisfont ^VWT¦V`gZ . Soient

T une valeur propre et^¨§ le vecteur propre correspondant:

P

Z6m.356mv*¡#18T

2K¤

#© (2.6)

Comme

Z6o.86ov*;856m

K¤

, la formule (2.6) devient

,

Z6MT>

8Km

#© (2.7)

En multipliant (2.6) et (2.7) avec^«ª , on obtient pour

f1

I«ª

5K¤

) (observer que^* ^¬ )

T f K f

Hv6o.)

ª

X

r

ZC6IT>

f

I

ª

, j®

X (2.8)

On en d´eduit

`T

f K f ® T

ZC6IT

K Z

Z6 T

®,

Z6¯VWT¦V

O

VyZ6MT¦V O r

ce qui implique ^VWT¦V`gZ .

(5)

Pour quelques matrices, on connaˆıt la valeur de qui minimise le rayon spectral de ^¥ ^.

et, par conséquent, qui accélère la convergence par rapport à l’itération de Gauss-Seidel. D’autres méthodes itératives pour des systèmes linéaires sont SSOR (“symmetric successive over-relaxation”) et la méthode du gradient conjugué (avec préconditionnement). Voir le livre de Golub & Van Loan, déjà mentionné au chapitre IV, et les livres classiques

L.A. Hageman & D.M. Young (1981): Applied Iterative Methods. Academic Press, New York.

R.S. Varga (1962): Matrix Iterative Methods. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

VI.3 M´ethode de Newton

Considérons le problème de la résolution d’un système d’équations non linéaires

C (3.1)

o`u la fonction

¤¦

est supposée être au moins une fois différentiable. Si^<

est une approximation de la solution cherch´ee, on lin´earise autour de^<

~

<JpK

&

<J

°6o<F

et on calcule le zéro de cette linéarisation. Si l’on répète cette procédure avec la nouvelle approximation, on obtient l’algorithme suivant:

for

s

r Z r H r

F@

calculer

>=| et

'&

>=D

'&

>=DP±²>=¡86

>=D (système linéaire à résoudre)

>=J?BAQ>=KI±¡>=

end for

Exemple 3.1 La méthode d’Euler implicite (voir (1.4)), appliquée à l’équation différentielle

&

h ,^h

&

Z

ZY6³

O

#hu6¨ avec pour valeurs initiales^´H ,^{µ£6zj!¶j¶} , nous conduit `a l’´equation

non lin´eaire

·´²KMk

h

h¸·µ KMk

Z

Zi6o

O

)h¹6o3

(3.2) L’itération (1.2) ne converge que pour^k suffisamment petit. Par exemple, pour^k$xw elle diverge et on est obligé d’utiliser un autre algorithme. La méthode de Newton

Z 6k

k

HjF>=h=K8Zº Z65Zk

Zi6o O=

>=J?BAp6o>=

hj=J?BAp6oh=

86

>=6¤´z6khj=

h=6¤µ»6k

Z

Zi6o

O=

#h=6o>=|

converge sans difficult´e avec^k,!w si l’on commence l’it´eration avec^<´ et^hj<²µ (voir le tableau VI.1 pour les valeurs de^>=

r

h= et les erreurs, mesur´ees dans la norme euclidienne).

TAB. VI.1: Convergence de la m´ethode de Newton

s

>= hj= erreur

Hj!jjjjjjjjjj 6zj!¶j¶jjjjjjjjjj ¼xwZ

Z

nBA

Z Z!½j¼j½j½j¾Zº¾j¼ZjZ½j 6zj{Z¶wjwjwj½jw¾jHj½jjBZj½ wxwj¾

Z

n O

H Z!½j¶j¾jjHj½jZ¼Zº¶jw 6zj{Zwj¼jHjjBZ½jj½j¼j¾jH xHj

Z

n¿

w Z!½j¶jjHjjHwjjjj½Hj¶ 6zj{Zwj½jwjHj¼jwZ¶j½BZj½ ¶x¶j¼

Z

nÀ

Z!½j¶jjHjjHBZj½j¼jwj 6zj{Zwj½jwjHj¶j¶j¾jHjwwjHj ZFxj½

Z

nBAÂÁ

(6)

Pour étudier la convergence de la méthode de Newton, considérons un terme de plus dans la série de Taylor:

C

>=|pK

&

>=D

6o>=DpK

Z

H &&

>=D

°6m>=

r

°6m>=DpKIL N

¸6m>=

NPÃ

3 (3.3)

Si l’on pose¹

"

dans cette formule (avec

"

comme solution de (3.1)) et si l’on soustrait

>=|pK

&

>=D

>=J?BA6m>=|

(d´efinition de^>=J?BA ), on obtient pour l’erreur ^=4Q>=6 ^" la formule

²

&

>=|

6=J?BA©KÅÄÆ &&

>=D

=

r

=DpKML 3N

= N Ã

3

On vient de d´emontrer le r´esultat suivant:

Th´eor`eme 3.2 Supposons que

soit 3 fois continˆument diff´erentiable et que

_&

soit in- versible dans un voisinage de ^" (solution de (3.1)). Alors, pour ^>= suffisamment proche de ^" , l’erreur^=4I>=6

"

de la m´ethode de Newton satisfait

=J?BA ÄÆ

)

&

>=|

nBA

&&

>=D

=

r

=DpKML 3N

= N Ã

3x (3.4)

Donc, la convergence de cette m´ethode est quadratique.

Ce théorème montre la convergence locale de la méthode de Newton, c.-à-d., si^< est proche d’une solution

"

de (3.1), la suite^EF>=G converge vers

"

. Concernant la convergence globale, on en sait tr`es peu et on ne sait analyser seulement que quelques cas de fonctions simples. L’exemple le plus connu est

)Ç

ÇFÃ

62Z ou

i

r hU

Ã 6MwFBh

O

68Z

wF

O

h 6mh

Ã (3.5)

(

Ç

QKm{h ) pour lequel l’it´eration devient

Ç

=@?BAC

Ç

=6 Ç Ã=

68Z

w Ç O

= Z

w H Ç

=K

Z

Ç O

= (3.6)

Il est int´eressant de d´eterminer les ensembles (bassins d’attraction)

#"

CE

Ç

<4%È

É

V|E

Ç

=|G converge vers ^" ^G (3.7)

pour les trois solutions^Z ,

6$ZDÊ43Ë wj q H de

#Ç

C . Un calcul par ordinateur donne la figure VI.2.

Les

Ç < du domaine blanc entraˆınent une convergence vers

" Z , ceux du domaine gris vers

"

6$ZÌ67Ë w

q H et ceux du domaine noir vers

"

6$ZÍK73Ë wj

q H . On observe que la suite^E

Ç

=G

ne converge pas n´ecessairement vers la solution la plus proche de

Ç < .

Calcul num´erique de la matrice jacobienne

En pratique, il arrive souvent que la forme analytique de la matrice

'&(

est inconnue. Dans cette situation on approche les ´el´ements^Î ^{^}

q

Îj

de la matrice jacobienne par

Î ^

«A

r

@F r

~

^

«A

r

@@

r

KIÏ

r

@@

r

6 ^

«A

r

@@

r (3.8)

(7)

1

−1

FIG. VI.2: Bassins d’attraction pour l’it´eration (3.6)

Mais comment doit-on choisir le ^Ï ? Pour simplifier la notation, consid´erons une fonction `a une variable et notons-la par^Ð .

Un d´eveloppement en s´erie de Taylor montre que

Ð

$KIÏ|6oÐ

Ï

IÐ

&

©K ÏH Ð &&

KML Ï O

3 (3.9)

En conséquence, ^Ï doit être petit pour que l’erreur de la discrétisation ne soit pas trop grande.

D’autre part, la soustraction dans (3.9) est très mal conditionnée. Une étude des erreurs d’arrondi montre que l’expression obtenue par un calcul en virgule flottante vaut

Ð

KMÏÑ

ZiKIÒAP

ZiKMÒ

O

6oÐ

Z¦KMÒ Ã

Ï

~ Ð

uKMÏÑ6oÐ

Ï K Z

Ï Ð &

$KMÏÑ

KIÏ|ÒApKmÐ

$KMÏÑ3Ò

O

6oÐ

Ò

Ã

o`u ^{V]Ò(^V}

d

eps (eps est la précision de l’ordinateur, voir section II.3). L’idée est de choisir ^Ï afin que les deux erreurs soient de la même grandeur :

ÏH

F@ ~ Z

Ï

@F eps (3.10)

Donc, on prend par exemple

Ïe

Ë eps ou ^Ï4 eps

ZiK8V0V] (3.11)

(8)

Modifications de la m´ethode de Newton

Si la dimension du problème (3.1) est très grande et/ou l’évaluation de la matrice

&

est très coûteuse, on peut remplacer la définition de^±¡>= par

&

<@P±¡>=²26

>=D (3.12)

Dans ce cas, il suffit de calculer une fois pour toutes la d´ecomposition LR de

_&

<J , ce qui facilite grandement la résolution des systèmes linéaires successifs. Mais on perd la convergence quadratique car (3.12) n’est rien d’autre qu’une itération (1.2) avec^- ^0Q6 ^)'&(^<@P ^nBA et^- &S)"

est non nul en g´en´eral.

En cas de mauvaise convergence, on remplace la d´efinition de^>=J?BA par

>=J?BAI>=KMT=D±¡>= (3.13)

et on détermine^T= de façon à ce que

NF

>=0KMT±¡>=

N

soit minimale.

VI.4 M´ethode de Gauss-Newton

Dans ce paragraphe, on va s’intéresser à des systèmes non linéaires surdéterminés. On considère une fonction

·Ó 0Ô

o`u^Õ ^X

et on cherche une solution de

z . Evidemment, comme on a plus de conditions que d’inconnues, ce problème ne possède en général pas de solution. On se contente donc de trouver un vecteur¹

tel que

NF

N O Ö

! v (4.1)

Si

est diff´erentiable, la fonction ^×

$ NF

N OO est aussi diff´erentiable et une condition n´ecessaire pour que soit un minimum local est d’avoir^×

&

C; , c.-`a-d.

&

¬

C2 (4.2)

Une possibilité pour résoudre (4.1) est d’appliquer une méthode itérative, par exemple la méthode de Newton, au système (4.2). Ceci nécessite le calcul de la deuxième dérivée de

i

.

Une autre possibilit´e est de lin´eariser dans (4.1) autour d’une approximation ^< de la solution et de calculer^«A de

NF

<@pK

&

<J

«A6o<@

N O Ö

! v (4.3)

Une répétition de cette idée donne l’algorithme suivant (méthode de Gauss-Newton) for

s

r Z r H r

F@

calculer

>=| et

'&

>=D

d´eterminer^±²>= de ^NF^>=ÑpK ^_&>=|±¡>=

N O Ö

! (moindres carr´es)

>=J?BAQ>=KI±¡>=

end for

Pour calculer^±¡>= on peut soit r´esoudre les ´equations normales (section IV.6)

Ø

&

>=

¬ &

>=DP±¡>=²26

#

&

>=D

¬

>=| (4.4)

soit calculer la d´ecomposition QR de^'&(^>=D et appliquer l’algorithme de la section IV.7.

(9)

Etude de la convergence

Pour étudier la convergence de la méthode de Gauss-Newton, développons la fonction

Ð

)

&

P

¬

r

Ð^

C

Ô

3

A Î Îj>^

(4.5)

en s´erie de Taylor. Pour ceci, calculons

ÎÐ^

Îj>Ù

Ô

3

A Î O Îj>Ù3Îj>^

pK

Ô

3

A Î Îj>^

Î

Îj>Ù

3 (4.6)

Matriciellement, la formule (4.6) s’´ecrit

Ð &

C:

)

rÓ

pK

#

&

¬ &

(4.7)

o`u^:

\ÔÛÚm

est l’application bilin´eaire d´efinie par

:

ÝÜ«r

[>

^

Ù A Ô

3

A Î O Îj>Ù3Îj>^

FÜ

[jÙP

Avec cette notation, la formule de Taylor donne

Ð

#

&

>=DP

¬

>=||K )

&

>=|

¬ &

>=|

.6¹>=D|K:

>=|

)i

>=Ñ

r

.6¹>=ÑKL 3N

.6¹>=

N O

3 (4.8) Soit maintenant

"

une solution de (4.1). Elle satisfait^Ð

#"

£ . En posant^m

"

dans (4.8) et en soustrayant (4.4), nous obtenons ainsi le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 4.1 Supposons que

¸ Ô

(avec^ÕÞX

) soit^w fois continˆument diff´erentiable, que le rang de

&

soit maximal et que

"

soit une solution de (4.1). Alors, pour^>= suffisamment proche de^" , l’erreur^=²·>=.6 ^" de la m´ethode de Gauss-Newton satisfait

=J?BAi86 )

&

>=|

¬ &

>=|

nBA

:

>=D )

>=|

r

=DpKIL N

= N O

Une cons´equence de cette formule est :

R en général, la convergence est linéaire;

R on a convergence quadratique si^#" ^C; ;

R si^#" est trop grand, la m´ethode diverge.

Terminons ce chapitre avec une application typique de cet algorithme.

Exemple (Identification de paramètres). La figure VI.3 montre une photographie de la Vallée Blanche (prise par G. Wanner). On y reconnaˆıt le Col des Grandes Jorasses, l’Aiguille du Géant, l’Aiguille Blanche de Peterey, l’Aiguille du Tacul, le Petit Rognon et l’Aiguille du Moine. La figure VI.4 est une copie d’une carte géographique de cette région. Le problème consiste à trouver la position de la caméra, ses caractéristiques (foyer) et les angles d’inclinaison.

Pour la formulation mathématique de ce problème, nous avons choisi des coordonnées

xÜ«r

[>

sur la photographie (figure VI.3, l’origine est au centre) et des coordonn´ees ^r ^h ^r@Ç sur la carte (

Ç

représente l’altitude). Les valeurs mesurées pour les ^¶ points reconnus sont données dans le tableau VI.2.

(10)

FIG. VI.3:Photographie de la Vallée Blanche TAB. VI.2: Les données pour le problème “Vallée Blanche”

s Ü = [= >= h=

Ç =

1. Col des Grandes Jorasses ^6zxjj¾ ^!Hj½j ^½¾j¼j¼ ^¼j¶j¾j ^wj¾jHj¼ 2. Aiguille du G´eant ^6zxZ ^!wjj¼ ^¾BZj ^¼jjHj ^jZw 3. Aig. Blanche de Peterey ^xjj½ ^!Hj¾j¼ ^H¾j¾j¼ ^jwj ^Zj

4. Aiguille de Tacul ^6zxZ½ ^!BZjZ¼ ^¾½jj ^j¼jwj ^wjjj

5. Petit Rognon ^xj¶j ^6²!jj¼ ^¼jj ^jjHj¼ ^wjjj¾

6. Aiguille du Moine ^xZH¼ ^6²!Hjj ^¾½j¾j ^ZjZjZHj ^wjZH

Pour fixer les inconnues, notons par ( ^r ^h ^r ^Ç la position du foyer de la cam´era, par le vecteur

)"ar

r@ß

la direction de vue avec norme correspondant `a la distance du plan du film et par^à l’angle de rotation de la cam´era autour du vecteur

#"r

rFß

. On a donc paramètres à trouver. De plus, considérons la base orthogonale

"ß r

k

Z

Ë " O KI

O

6 "

r

Ð°

Z

)"

O

KM

O

#"

O

K

O K ß O 6

"aß

6z

ß

" O

KM

O

(4.9) dont les deux vecteurs^k et^Ð engendrent le plan du film, ^k ´etant horizontal et^Ð vertical. Alors, le vecteur dans l’espace qui montre du centre ^r ^h ^r ^Ç de la lentille vers le point ^xÜ ⁼ ^r ^[j=| sur le film est donn´e par

á

A=

á O =

á Ã = "ß K f =

kzK

® = Ð o`u

f =

® = âFã

à ! à

6m! eà

âFã

>à Ü =

[=

Les conditions `a satisfaire sont que les vecteurs

á

A=

r á O = r á Ã

=D et

>=v6 r h=.6 h

rFÇ

=6

Ç soient

(11)

FIG. VI.4: La region de la Vall´ee Blanche

colinéaires. Ceci donne deux conditions pour chaque ^s . Mais, par symétrie, il est plus naturel de considérer les trois conditions (pour chaque

s

)

²

á

A=

á O =

á Ã Ú

>=6

h=6 h

Ç Ç á O =

)Ç

=6

Ç

6 á Ã =

hj=6 h>

á Ã =

>=6 «6

á

A=

)Ç

=6 Ç

á á O (4.10)

(12)

En tout, ceci donne ^w ^¶$Z¾ conditions pour inconnues. Voici le programmeFORTRANpour la fonction

¸²äC

AÂÀ .

å#æç(èéØæêë#ìíîSï(ìJðÝìJñÝòåSé)óJñôÑñÝî3õ

ëØôSöóë)ïPë#ê.èSí÷óPø{ùuðÝ÷Pú#ûÑñyéú(üPõ

ö÷(èS÷(ôSíêí(èÑðÝì(ýþSÿPõ

ý3ëØôSíìåë(é)ìòåSé)óJðÝì3õ ñÝîJðôõ

ïé#ôôé)ì)ýS÷ê{ì(ýS÷êJñÝò(ýS÷êJðÝì(ýõºñý÷êJðÝìýõ ñÂü)ýS÷êÑðÝì(ý õ ñæSý÷êJðxì(ýõ ñ(ýS÷SêJðÝì(ý õ

ïeúúúúúúìPé)ê÷êë(é)ìvóPé{ï(÷óí¡úúúúúúúú

ò(þ(òåSé)óJð (õ

(þ(òåSé)óJðPõ

ü(þ(òåSé)óJðõ

÷Sþ(òåSé)óJð3õ

çSþ(òåSé)óJð!ÿPõ

ïþ(òåSé)óJðPõ

ê(ûSíê÷Sþ(òåSé)óJðPõ

ïeúúúúúúíSï(êí{æSèvûé#è3ë{üSé)ìê÷ó²úúúúúú

èS÷SïþSå#èSêJðÝ÷Pø)÷(çPø)ç3õ

ûØþ(ç)èS÷Sï

û(þú)÷)èS÷Sï

ûþ

ïeúúúúúíSï(êí{æSèí(èSêë)ï(÷ó¡úúúúúúúúú

èS÷SïþSå#èSêJððÝ÷Pø{ïõ{øø@ðÝçPø{ïõ{øSøJðÝ÷Pøø(ç3øøPõ(øøõ

Øþú)÷Pø{ï)èS÷Sï

(þú)çPø{ï)èS÷Sï

þ@ðÝ÷Pøø(çPøøPõ)èS÷Sï

ïeúúúúúúúóíåöPéSë#ìêåeúúúúúúúú

ýévë)þñÝì(ýS÷ê

ïeúúúúúú0èé)ê÷êë(é)ì¡ë#ìë#êë#÷óí²úúúúúú

æPþ0æSýS÷êJðÂëSõ{ø{ïé(åFðÝê(ûSíê÷3õ(ýS÷êJðÂëõ{ø(åë#ìJðÝêûSíêS÷3õ

SþúØæSýS÷êJðÂëSõ{ø(åë#ìJðÝê(ûSíê÷3õ(ý÷êJðÂëõ{ø{ïé(åFðÝêûSíêS÷3õ

ïeúúúúúúóíåíSï(êí{æSèPå.÷.÷óë(ìí(è¡úúúúúúú

Øþ(÷{û)øØæ)ø

(þ(ç{ûSøØæSø

þï{ûøØæø

Øþ(ò(ýS÷êJðÂëSõ{ú)ò

(þ!ýS÷êJðÂëSõ{ú

!þSü)ýS÷êJðÂëSõ{ú(ü

ïeúúúúúúúúóíåîPé)ìSï(êë(é)ìåv÷.÷ìì{æóí(è¡úúúúúúúúúúú

îJðøðÂë(ú(õ(õ#þ )øSú Sø

îJðøðÂë(ú(õPõ#þ Sø!ú ø

îJðøðÂë(ú(õõ#þ ø)ú )ø!

íì(ý.ýé

èSíê{æSèSì

íì(ý

En appliquant la méthode de Gauss-Newton à ce système avec comme valeurs initiales ^;

¾jj , ^h³ ^Z¼jj ,

Ç

ÞZj ,

" , ^6Z ,

ß , ^à¸ , apr`es peu d’it´erations on obtient la solution^1½¶j¶j ,h¸gZwZjZ¼ ,

Ç

BZjZ¶ avec une pr´ecision de^¼ chiffres (voir le tableau VI.3). On

a donc bien trouvé la position de la caméra. C’est à l’Aiguille Verte (altitude 4122) que Gerhard a pris cette photo.

TAB. VI.3:Convergence de la m´ethode de Gauss-Newton

s

>= h=

Ç = " ß à

¾jjj Z¼jj Zj !j 6$ZFxjj xjj xjj

Z ¾jjwj ½jwjw½ ZjZ¶½ 6²!jw 6²xj¾j¼ 6²xjjw xjj

H ¾j¶j¾j ZjZjZ¶w jZº 6²!BZ 6²)ZjZ 6²xjHZ xZ

w ½j¼jj Zwjjw wj½j½w 6²!j 6²)Z¶j 6²xjwjH 6²xj½j

½j¶j¶j ZwZ ZjZº¶ 6²!jw 6²)Z¶j½ 6²xjwjH 6²xjj

¼ ½j¶j¶j ZwZjZº¼ ZjZº¶ 6²!jw 6²)Z¶j½ 6²xjwjH 6²xjj

¶ ½j¶j¶j ZwZjZº¼ ZjZº¶ 6²!jw 6²)Z¶j½ 6²xjwjH 6²xjj

(13)

VI.5 Exercices

1. Pour une fonction"$#&%(')% , considrons l’itration*,+'=.-!+'=JnBA0/1'2+\=@?BA dfinie par

354

"6*,+'=./67

"6*,+\=8/:9;"6*,+\=JnBA/

+\=<9=+\=JnBA

*,+\=@?BA>9?+'=8/@ (5.1)

(a) Donner une interprtation gomtrique.

(b) Dmontrer que l’erreur^A= ^4CB^+'=9;D ^B, o^D est une racine simple de"6*,+>/

4E3

, satisfait

AP=J?BAGFIHJA=.A=JnBA0- avec ^H ⁴ ^"

&&

*DK/

L " &

*D8/

@

(c) Dduire de (b) que

A=J?BAMFENOAP

= - avec ^Q ^4SR^L ^* ^R ^7UT ^V&/WF ^R ^@X ^RY ^@ (d) Soit "6*,+Z/ un polynme, nous avons que le travail pour valuer "6*,+>/ et ^"

&

*,+Z/ est approxima- tivement le mme. Supposons que le cot des oprations d’additions, de soustractions, de mul- tiplications et de divisions sont ngligeables par rapport l’valuation de "6*,+Z/. Quelle mthode choisiriez-vous entre la mthode de Newton et la mthode de la scante (5.1) pour calculer une racine de"6*,+>/ travail gal?

2. Soit^N\[]% et"^#_N\'`%

continˆument diff´erentiable. Pour un⁺ ^<a ^N supposons que^"6*,+ ^< ^/b^4c3 et que^"

&

*,+ < / soit inversible. Montrer que

Q < 4 9d"

&

*,+

< / nBA

"6*,+

< /

est la seule direction ayant la propi´et´e suivante:

Pour toute matrice inversible^e , il existe^f ^<dg ³ tel que pour^35h ^f ^h ^f ^<

i

e"6*,+ < 7;f8Q < / i O h i

e"6*,+ < / i O @

(14)