R´esolution de syst`emes lin´eaires par une m´ethode it´erative

R´esolution de syst`emes lin´eaires par une m´ethode it´erative

22 juin 2014

SoitA=M−N une matrice hermitienne d´efinie positive, avecM inversible etM^∗+N d´efinie positive. On poseB=M⁻¹N et C=M⁻¹X, pourX ∈Cⁿ. On munitCⁿ de la norme d´efinie parkXk=p

(X|AX).

L’id´ee est de construire une suite (X_n)_n∈Nd´efinie parX₀∈Cⁿ et : X_n+1=BX_n+C

qui converge versA⁻¹X.

Premi`ere ´etape : montrons que|||B|||<1.

On a :

|||B|||²= sup

kXk=1

kBXk²= max

X^∗AX=1X^∗B^∗ABX par compacit´e de la sph`ere unit´e. On a donc

|||B|||<1 ⇐⇒ ∀X6= 0, X^∗B^∗ABX < X^∗AX

⇐⇒ ∀X6= 0, X^∗(A−B^∗AB)X >0

⇐⇒ A−B^∗ABest d´efinie positive.

Nous avonsB=M⁻¹N =M⁻¹(M−A) =In−M⁻¹A. On en d´eduit que : A−B^∗AB = A−(In−AM^∗−1)A(In−M⁻¹A)

= A−A+AM^∗−1A+AM⁻¹A−AM^∗−1AM⁻¹A

= AM^∗−1(M +M^∗−A)M⁻¹A

= (M⁻¹A)^∗(M^∗+N)(M⁻¹A).

M^∗+N est d´efinie positive doncA−B^∗ABaussi (∀X 6= 0, X^∗(A−B^∗AB)X = (M⁻¹AX)^∗(M^∗+N)(M⁻¹AX)>0).

Donc|||B|||<1.

Seconde ´etape : montrons queIn−B est inversible.

SoitY ∈Cⁿ tel que (In−B)Y = 0. AlorsBY =Y et donckYk=kBYk ≤

|||B||| × kYk<kYksiY 6= 0, ce qui est absurde. DoncIn−B est inversible.

Troisi`eme ´etape : ConstruisonsLlimite de la suite (Xn)_n∈N.

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PosonsL= (I_n−B)⁻¹Cde sorte que (I_n−B)L=C. Cette limite potentielle est choisie comme point fixe de la fonctionY 7−→BY +C.

On a∀n∈N, Xn+1−L=BXn+C−L=BXn+(In−B)L−L=B(Xn−L) d’o`uXn−L=Bⁿ(X0−L). Alors :

kXn−Lk ≤ |||B|||ⁿkX0−Lk.

Comme|||B|||<1,X_n converge versL(pour toutX₀∈Cⁿ). Et :

L= (I_n−B)⁻¹C= (I_n−(I_n−M⁻¹A))⁻¹(M⁻¹X) =A⁻¹M M⁻¹X =A⁻¹X.

Cet algorithme est int´eressant pour r´esoudre AX=Y lorsque l’on sait cal- culer explicitement la valeur de M⁻¹. En prenant par exempleM =αIn avec α∈R, on aM^∗+N=M+N= 2M−A, qui est hermitienne si 2αest sup´erieur

`a max{|λ|, λ∈Sp(A)}.

R´ef´erence : Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux-X-ENS alg`ebre 3, pages 169- 170.

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