Universit´e Abdelmalek Essaˆadi Ann´ee universitaire : 2019/2020
Facult´e des Sciences de T´etouan Master M.A.F.
D´epartement de Math´ematiques Semestre 2
T.D. de M´ ethodes de Mont´ e-Carlo S´ erie n˚ 1
Exercice 1 :
Soit X une variable al´eatoire qui suit la loi de Cauchy standard de fonction de densit´e
f(x) = 1 π(1 +x2).
Donner un moyen simple de simuler cette loi par la m´ethode d’inversion.
Exercice 2 :
La loi demi-normale de param`etre σ= 1 a pour densit´e :
f(x) =
( q2 π exp
−x22
si x >0
0 sinon
1. Donner l’algorithme de simulation de la loi de densit´e f par la m´ethode de rejet.
2. Donner la probabilit´e d’acceptation de l’algorithme.
Exercice 3 :
Donner l’algorithme d’inversion pour g´en´erer `a partir de la variable al´eatoire max(X1,· · · , Xn), avec X1,· · · , Xn n variables al´eatoires i.i.d. de fonction de r´epartition F (on suppose que F−1 est connue).
Exercice 4 :
Soit X une variable al´eatoire continue admettant pour fonction de densit´e :
f(x) =
αβxβ−1e−αxβ si x>0
0 sinon
avecα etβ des param`etres >0. Donner la fonction de r´epartition de la variable al´eatoireX et proposer une m´ethode de simulation de cette variable.
Exercice 5 :
Pour a >0 donn´e, on d´esigne par f la fonction
f(x) =
e−x si x∈[0, a]
0 sinon
1. Trouver une constante k telle que kf soit une densit´e de probabilit´e.
2. Trouver une constante c1 >1 telle quekf(x)6c1I[0,a]a(x), x∈R 3. Trouver une constante c2 >1 telle quekf(x)6c2I[0,+∞[e−x, x∈R
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4. On veut mettre en place une m´ethode de rejet pour simuler la loi de densit´ef en utilisant la loi uniforme sur [0, a] ou la loi exponentielle de param`etre 1. Laquelle vaut-il mieux choisir ?
Exercice 6 : Soit λ∈]0,1[ fix´e.
1. Utiliser la m´ethode de rejet pour simuler une variable X de Poisson de param`etre λ `a partir d’une variableY de loi
∀f ∈N, P(Y =k) = (1−λ)λn 2. Comment simuler simplement Y ?
3. Quelle est la probabilit´e de rejet ? Exercice 7 :
Soit X une loi g´eom´etrique de param`etre p:
P(X =k) = p(1−p)k−1, pourk ∈N∗
1. Rappeler la m´ethode classique de simulation de X `a l’aide de tirages `a pile ou face.
2. Proposer une autre m´ethode de simulation de cette loi utilisant la fonction de r´epartition.
3. Soitλ >0 etT une variable al´eatoire suivant une loi exponentielleE(λ). Soit X =dTela partie enti`ere par exc`es deT. Quelles valeurs peut prendreX? Avec quelles probabilit´es ? En d´eduire un nouveau moyen de g´en´erer une loi g´eo´etrique G(p).
4. Que donne la m´ethode d’inversion ?
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