IUT Littoral 2019 - 2020
Info 2A Ana. Num. – C++
TP 3 - Introduction aux m´ ethodes de Runge–Kutta - Correction Exercice 1.
a. On a d = 1, y
0= 1 et
f : R
+× R → R (t, y) 7→ 2 y
b. La d´ eriv´ ee de la fonction t 7→ e
at´ etant ae
at, nous obtenons que les solutions de l’´ equation diff´ erentielle sont de la forme y(t) = λe
2t. La condition y(0) = 1 donne λe
0×t= 1 puis λ = 1. La solution de l’´ equation diff´ erentielle est donc y(t) = e
2t. Exercice 2.
a. Les inconnues de (1) sont θ(t) et ω(t) = θ
0(t). Nous posons alors y(t) = θ(t)
ω(t)
. b. Nous avons d = 2 ainsi que
y
0= y(0) = θ(0)
ω(0)
= π/8
0
et
f : R
+× R
2→ R
2t, θ
ω
7→
ω
−
g`sin(θ)
Exercice 3.
a. Nous avons
Z
tn+1tn
y
0(t)dt = y(t
n+1) − y(t
n).
b. Nous obtenons ainsi
y(t
n+1) = y(t
n) + Z
tn+1tn
y
0(t)dt = y(t
n) + Z
tn+1tn
f (t, y(t))dt.
Exercice 4.
a. Nous obtenons Z
tn+1tn
f (t, y(t))dt ≈ (t
n+1− t
n) f (t
n, y(t
n)) = h f (t
n, y(t
n)).
b. La suite (a
n)
n∈Nv´ erifie la r´ ecurrence a
0= y
0et
a
n+1= a
n+ h f (t
n, a
n) pour n ∈ N . Exercice 5.
a. Nous obtenons Z
tn+1tn
f (t, y(t))dt ≈ (t
n+1− t
n) f
t
n+ t
n+12 , y
t
n+ t
n+12
≈ h f
t
n+ h 2 , y
t
n+ h
2
. b. Nous utilisons l’approximation y t
n+
h2= y(t
n) +
h2f (t
n, y(t
n)).
c. La suite (a
n)
n∈Nv´ erifie la r´ ecurrence a
0= y
0et a
n+1= a
n+ h f
t
n+ h
2 , a
n+ h
2 f (t
n, a
n)
pour n ∈ N .
2
Exercice 6.
a. Pour l’exercice 1 nous avons y
0= 1 et f (t, y) = 2y. La suite a
nest donc donn´ ee par a
0= 1 et
a
n+1= a
n+ h f (t
n, a
n) = a
n+ 2h a
n= (2h + 1) a
n. Pour l’exercice 2 nous avons y(t) =
θ(t) ω(t)
, y
0=
π8
0
et f
t, θ
ω
=
ω
−
g`sin(θ)
. La suite a
nest donc donn´ ee par a
0=
π0
8et a
n+1= a
n+ h f (t
n, a
n)
= a
n,1a
n,2+ h f
t
n, a
n,1a
n,2= a
n,1a
n,2+ h
a
n,2−
g`sin(a
n,1)
=
a
n,1+ ha
n,2a
n,2−
g`sin(a
n,1)
. b. Pour l’exercice 1 nous obtenons a
0= 1 ainsi que
a
n+1= a
n+ h f
t
n+ h
2 , a
n+ h
2 f (t
n, a
n)
= a
n+ h f
t
n+ h
2 , a
n+ h 2 2a
n= a
n+ h f
t
n+ h
2 , (h + 1)a
n= a
n+ 2 h (h + 1)a
n= (2h
2+ 2h + 1)a
n. Pour l’exercice 2 nous obtenons a
0=
π8
