M62_CM8 : Schémas à un pas de type Runge-Kutta

(1)

In [1]: from IPython.display import display, Latex from IPython.core.display import HTML css_file = './custom.css'

HTML(open(css_file, "r").read())

In [2]: from math import *

M62_CM8 : Schémas à un pas de type Runge-Kutta

Out[1]:

(2)

Remarque (le cas des systèmes) Une méthode de Runge-Kutta peut être aisément étendue aux systèmes d’équations différentielles ordinaires. Néanmoins, l’ordre d’une méthode RK dans le cas scalaire ne coı̈ncide pas nécessairement avec celui de la méthode analogue dans le cas vectoriel. En particulier, pour , une méthode d’ordre dans le cas du système autonome , avec est encore d’ordre quand on l’applique à l’équation scalaire autonome

, mais la réciproque n’est pas vraie.

= 1

∑

^s_j=1

b

i

=

c

i

∑

^s_j=1

a

ij

= = 0

c

1

a

1,j

K

1

= φ( , ) t

n

u

n

c

2

= a

21

K

2

= φ( + h, t

n

c

2

u

n

+ h c

2

K

1

)

≥ 2 ∑

_j

b

j

c

j

=

1

≥ 3 ∑

_j

b

j

c

²_j

=

2₃¹

∑

_i,j

b

i

a

ij

c

j

=

1

≥ 4 ∑

_j

b

j

c

_j³

=

₄¹

∑

_i,j

b

i

c

i

a

ij

c

j

=

61

8

∑

_i,j

b

i

a

ij

c

²_j

=

₁₂¹

∑

_i,j,k

b

i

a

ij

a

jk

c

k

=

1 24

s s

s s s ≥ 5

s 2s

p ≥ 4

p y

^′

(t) = φ(t, y) φ: R

^m

→ R

ⁿ

p

(t) = φ(y)

y

^′

(6)

A-stabilité

Rappelons la définition de schéma A-stable:

Soit un nombre réel positif et considérons le problème de Cauchy

où est une valeur donnée. Sa solution est donc

Soit un pas de temps donné, pour et notons une approximation de la solution au temps . Si, sous d'éventuelles conditions sur , on a

alors on dit que le schéma est A-stable.

Une méthode de Runge-Kutta à étages pour s'écrit:

On peut monter que, contrairement aux méthodes multi-pas, la taille des régions de stabilité absolue des méthodes RK augmente quand l’ordre augmente.

β > 0

{ (t) = −βy(t), y

^′

y(0) = y

0

pour t > 0,

≠ 0

y

0

y(t) = y

0

e

^−βt

y(t) = 0.

t→+∞

lim

h > 0 t

n

= nh n ∈ N u

n

≈ y( ) t

n

y t

n

h lim = 0,

n→+∞

u

n

s ≥ 1 y

^′

(t) = −βy(t)

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

u

0

= , y

0

= + h u

n+1

u

n

∑

i=1 s

b

i

K

i

= −β ( + h )

K

i

u

n

∑

j=1 s

a

ij

K

j

n = 0, 1, … N − 1

i = 1, … s.

(7)

Exercice : schémas RK à un étage

Étudier les méthodes RK avec :

1. écrire le générique schéma implicite RK à un étage 2. étudier son ordre de convergence

3. écrire le générique schéma explicite RK à un étage 4. étudier son ordre de convergence

5. étudier la A-stabilité

Correction : écriture d'un schéma RK à un étage quelconque

Ces méthodes ont matrice de Butcher

Par exemple, si on choisi on trouve le schéma implicite

Notons que ce schéma n'est rien d'autre que le schéma d'Euler implicite car , donc si on remplace le dans la définition de par on obtient

s = 1

avec { ⟹ ⟹

c

1

a

11

b

1

= c

1

a

11

= 1 b

1

c

1

c

1

1 ⎧

⎩ ⎨ u

0

= y

0

= φ ( + h , + h ) K

1

t

n

c

1

u

n

c

1

K

1

= + h

u

n+1

u

n

K

1

n = 0, 1, … N − 1

= 1 c

1

1 1 ⟹ 1

⎧

⎩ ⎨ u

0

= y

0

= φ ( , + h ) K

1

t

n+1

u

n

K

1

= + h

u

n+1

u

n

K

1

n = 0, 1, … N − 1

= + h

u

n+1

u

n

K

1

u

n

+ h K

1

K

1

u

n+1

= φ ( , + h ) = φ ( , ) ⟹ = + h = + hφ ( , )

K

1

t

n+1

u

n

K

1

t

n+1

u

n+1

u

n+1

u

n

K

1

u

n

t

n+1

u

n+1

(8)

Correction : étude de l'ordre d'un schéma RK à un étage quelconque

Si on cherche une méthode d'ordre alors il faut que : il existe une seule méthode d'ordre 2, elle est implicite et sa matrice de Butcher est

Notons que , donc si on remplace le dans la définition de par on obtient

Correction : écriture d'un schéma RK à un étage explicite

Si le schéma est explicite alors

Il existe un seul schéma explicite RK à un étage, il s'agit du schéma d'Euler explicite.

Correction : étude de l'ordre d'un schéma RK à un étage explicite

Si le schéma est explicite alors il est d'ordre 1.

2 1 × c

1

=

1 2 1

⟹

2 1

2

1 ⎧

⎩ ⎨

⎪

= u

0

y

0

= φ ( + , + ) K

1

t

n h

2

u

n h 2

K

1

= + h

u

n+1

u

n

K

1

n = 0, 1, … N − 1

= + h

u

n+1

u

n

K

1

u

n

+

h

=

2

K

1 un+( +h )un K1

2

K

1

u

n+1

= φ ( + , + ) = φ ( + , ) ⟹ = + h = + hφ ( + , )

K

1

t

n

h

2 u

n

h

2 K

1

t

n

h 2

+ u

n

u

n+1

2 u

n+1

u

n

K

1

u

n

t

n

h

2 + u

n

u

n+1

2 0 0 ⟹ 1

⎧

⎩ ⎨ u

0

= y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= + h

u

n+1

u

n

K

1

n = 0, 1, … N − 1

(9)

Correction : étude de la A-stabilité

Une méthode de Runge-Kutta à 1 étage pour s'écrit:

On trouve donc ainsi

Par induction on obtient

Par conséquent, si et seulement si

Notons le produit (donc ) et la fonction (avec ).

Conclusion:

si le schéma est inconditionnellement A-stable, si le schéma est A-stable ssi . Pour nos exemples, on obtient:

si (Euler Implicite) alors le schéma est inconditionnellement A-stable et d'ordre 1, si alors le schéma est inconditionnellement A-stable et d'ordre 2,

si (Euler Explicite) alors le schéma est A-stable ssi et il est d'ordre 1.

(t) = −βy(t) y

^′

⎧

⎩ ⎨ u

0

= , y

0

= + h u

n+1

u

n

K

1

= −β ( + h ) . K

1

u

n

c

1

K

1

n = 0, 1, … N − 1

(1 + βh ) c

1

K

1

= −β u

n

{ u

0

= y

0

= (1 − ) u

n+1 (βh)

1+ (βh)c1

u

n

n = 0, 1, … N − 1

= .

u

n

(1 − βh ) 1 + βh c

1

n

u

0

= 0

n→+∞

lim u

n

1 − < 1.

∣ ∣

∣ βh

1 + βh c

1

∣ ∣

∣ x βh > 0 x > 0 q q(x) = 1 −

_{1+ x}^x_c₁

c

1

∈ [0; 1]

|q(x)| < 1 ⟺ −1 < 1 − x < 1 ⟺ { < 2 x < 2(1 + x) ⟺ 1 + x c

1

< 2

1+ xxc1

> 0

1+ xxc1

⟺

x>0

≥0

c1

x

1 + x c

1

⟺

^c¹^x≥0

c

1

(1 − 2 )x < 2 c

1

⟺ { x <

_1−2c² ₁

∀x

si 1 − 2 > 0 c

1

sinon.

≥ c

1 1

<

2

c

1 1

2

βh <

_1−2c² ₁

= 1 c

1

= c

1 1

= 0

2

c

1

h <

_β²

(10)

Exercice : schémas RK à deux étages

Étudier les méthodes RK avec :

1. écrire le générique schéma implicite RK à deux étages 2. écrire le générique schéma semi-implicite RK à deux étages 3. écrire le générique schéma explicite RK à deux étages 4. étudier l'ordre de convergences des schémas explicites 5. étudier la A-stabilité des schémas explicites

Correction : écriture d'un schéma RK à deux étages quelconque

Les méthodes avec ont matrice de Butcher

Voici un exemple, appelée méthode de Gauss:

Cette méthode est d'ordre 4 et on peut monter que c'est la seule méthode d'ordre 4 à deux étages.

s = 2

avec ⟹

c

1

c

2

a

11

a

21

b

1

a

12

a

22

b

2

⎧

⎩ ⎨ c

1

= a

11

+ a

12

= +

c

2

a

21

a

22

+ = 1 b

1

b

2

c

1

c

2

a

11

a

21

1 − b

2

− c

1

a

11

− c

2

a

21

b

2

⟹

⎧

⎩ ⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ ( + h , + h( + ( − ) )) K

1

t

n

c

1

u

n

a

11

K

1

c

1

a

11

K

2

= φ ( + h , + h( + ( − ) )) K

2

t

n

c

2

u

n

a

21

K

1

c

2

a

21

K

2

= + h ((1 − ) + )

u

n+1

u

n

b

2

K

1

b

2

K

2

n = 0, 1, … N − 1

avec γ =

1

− γ

2 1

+ γ

2

14 1

+ γ

4 1 2

1

− γ

4 1 41 2

√ 3–

6

(11)

In [3]: from sympy import * gamma=sqrt(3)/6

c=[1/2-gamma,1/2+gamma]

b=[1/2,1/2]

A=[[1/4,1/4-gamma],[1/4+gamma,1/4]]

s=len(c)

print("Consistance") print(sum(b)==1) for i in range(s):

print(sum(A[i]).simplify()==c[i]) print("\nOrdre 2")

print(sum([b[i]*c[i] for i in range(s)]).simplify()==1/2) print("\nOrdre 3")

print(sum([b[i]*c[i]**2 for i in range(s)]).simplify()==1/3)

print(sum([b[i]*A[i][j]*c[j] for i in range(s) for j in range(s)]).simplify()==1/6) print("\nOrdre 4")

print(sum([b[i]*c[i]**3 for i in range(s)]).simplify()==1/4)

print(sum([b[i]*c[i]*A[i][j]*c[j] for i in range(s) for j in range(s)]).simplify()==1/8) print(sum([b[i]*A[i][j]*c[j]**2 for i in range(s) for j in range(s)]).simplify()==1/12)

print(sum([b[i]*A[i][j]*A[j][k]*c[k] for i in range(s) for j in range(s) for k in range(s)]).simplify()==1/24) Consistance

True True True Ordre 2 True Ordre 3 True True Ordre 4 True True True True

(12)

Correction : écriture d'un schéma RK à deux étages semi-implicite

Les méthodes semi-implicites vérifient, de plus, ainsi la matrice de Butcher est

Par exemple, si on choisi , et on trouve le schéma semi-implicite

Notons que ce schéma n'est rien d'autre que le schéma de Crank-Nicolson car , donc si on remplace le dans la définition de par on obtient

ainsi

Correction : écriture d'un schéma RK à deux étages explicite

Les méthodes avec explicites ont matrice de Butcher

= c

1

a

11

⟹ c

1

c

2

c

1

a

21

1 − b

2

0 − c

2

a

21

b

2

⎧

⎩ ⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ ( + h , + h ) K

1

t

n

c

1

u

n

c

1

K

1

= φ ( + h , + h( + ( − ) )) K

2

t

n

c

2

u

n

a

21

K

1

c

2

a

21

K

2

= + h ((1 − ) + )

u

n+1

u

n

b

2

K

1

b

2

K

2

n = 0, 1, … N − 1

c

1

= 0 c

1

= 1 a

21

= a

22

= b

1

= b

2

=

1 2

⟹ 0

1 0

12 12

0

12 12

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( , + ( + )) K

2

t

n+1

u

n h

2

K

1

K

2

= + ( + )

u

n+1

u

n h

2

K

1

K

2

n = 0, 1, … N − 1

= + ( + )

u

n+1

u

n h

2

K

1

K

2

u

n

+ (

h

+ )

2

K

1

K

2

K

2

u

n+1

= φ ( , + ( + )) = φ ( , ) K

2

t

n+1

u

n

h

2 K

1

K

2

t

n+1

u

n+1

= + ( + ) = + (φ ( , ) + φ ( , )) u

n+1

u

n

h

2 K

1

K

2

u

n

h

2 t

n

u

n

t

n+1

u

n+1

s = 2

0 0 0 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ u

0

= y

0

= φ ( , )

K t u

(13)

Correction : étude de l'ordre d'un schéma RK à deux étages explicite

Pour avoir l'ordre 2 il faut que .

Pour avoir l'ordre 3 il faudrait que et ce qui est impossible car . Conclusion: un schéma RK à deux étages explicite d'ordre 2 s'écrit

Voici deux cas particuliers:

: schéma de Heun

: schéma d'Euler Modifié $$ \begin{array}{c|cc}

0 & 0 & 0\\

\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\ \hline & 0 & 1

\end{array} \quad \implies

$$

= b

2

c

2 1

2

=

b

2

c

²₂ ¹₃

b

2

a

21

c

1

=

1

6

c

1

= 0

⟹ 0

2α1

0

2α1

1 − α 0 0 α

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + α, + α ) K

2

t

n h

2

u

n h 2

K

1

= + h ((1 − α) + α )

u

n+1

u

n

K

1

K

2

n = 0, 1, … N − 1

α =

¹₂

⟹ 0

1 0 1

12

0 0

12

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ( , + h ) K

2

t

n+1

u

n

K

1

= + h ( + ) u

n+1

u

n 1

2

K

1 1

2

K

2

n = 0, 1, … N − 1 α = 1

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

u

0

= y

0

= φ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ( + h, + h ) K

2

t

n 1

2

u

n 1 2

K

1

= + h

u

n+1

u

n

K

2

n = 0, 1, … N − 1

(14)

Correction : étude de la A-stabilité des schémas explicites

Le schéma donné appliqué à cette équation devient

Par induction on obtient

Par conséquent, si et seulement si

Notons le produit (donc ) et le polynôme .

Si , le schéma se réduit au schéma d'Euler explicite.

Si , c'est une parabole convexe et le sommet est situé en .

En particulier, lorsque le schéma est d'ordre 2 on a et le schéma est A-stable ssi . Si , c'est une parabole concave et le sommet est situé en .

{ u

0

= y

0

= (1 − (βh) + (βh )

u

n+1

c

2

b

2

)

²

u

n

n = 0, 1, … N − 1

= .

u

n

(1 − (βh) + c

2

b

2

(βh ) )

^{2 n}

u

0

= 0

n→+∞

lim u

n

1 − (βh) + (βh < 1.

∣∣ c

2

b

2

)

²

∣∣

x βh > 0 x > 0 q q(x) = 1 − x + c

2

b

2

x

²

= 0 c

2

b

2

> 0

c

2

b

2

(

_2c¹₂_b₂

> 0, 1 −

_4c¹₂_b₂

)

|q(x)| < 1 ⟺ x < 1 c

2

b

2

= b

2

c

2 1

2

h <

_β²

< 0

c

2

b

2

(

_2c¹₂_b₂

< 0, 1 −

_4c¹₂_b₂

)

|q(x)| < 1 ⟺ x < 1 − 1 − 8b √ − −−−−−

2

c −

2

2b

2

c

2

(15)

Exemples à 3 étages explicites

Un schéma RK à étages explicite a pour matrice de Butcher

Voici deux exemples:

schéma de Heun à trois étages

Étant une méthode explicite à 3 étapes, elle a au mieux ordre 3. Vérifions qu'elle est effectivement d'ordre 3:

3 avec ⟹

0 c

2

c

3

0 a

21

a

31

b

1

0 0 a

32

b

2

0 0 0 b

3

⎧

⎩ ⎨ c

2

= a

21

= +

c

3

a

31

a

32

+ + = 1 b

1

b

2

b

3

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + h , + h ) K

2

t

n

c

2

u

n

c

2

K

1

= φ ( + h , + h( + )) K

3

t

n

c

3

u

n

a

31

K

1

a

32

K

2

= + h ( + + )

u

n+1

u

n

b

1

K

1

b

2

K

2

b

3

K

3

n = 0, 1, … N − 1

⟹ 0

13 23

0

13

0

14

0 0

23

0 0 0 0

34

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + , + ) K

2

t

n h

3

u

n h 3

K

1

= φ ( + h, + h ) K

3

t

n 2

3

u

n 2 3

K

2

= + ( + 3 ) u

n+1

u

n h

4

K

1

K

3

n = 0, 1, … N − 1

(16)

b=[1/4,0,3/4]

A=[[0,0,0],[1/3,0,0],[0,2/3,0]]

s=len(c)

print(sum(A[i])==c[i]) print("\nOrdre 2")

print(sum([b[i]*c[i] for i in range(s)])==1/2) print("\nOrdre 3")

print(sum([b[i]*c[i]**2 for i in range(s)])==1/3)

print(sum([b[i]*A[i][j]*c[j] for i in range(s) for j in range(s)])==1/6)

schéma

Étant une méthode explicite à 3 étapes, elle a au mieux ordre 3. On vérifie ci-dessous qu'elle est d'ordre 3:

⟹ 0

12

1 0

12

−1

16

0 0 2

23

0 0 0

16

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + , + ) K

2

t

n h

2

u

n h 2

K

1

= φ ( , + h(− + 2 )) K

3

t

n+1

u

n

K

1

K

2

= + ( + 4 + ) u

n+1

u

n h

6

K

1

K

2

K

3

n = 0, 1, … N − 1

Consistance True

True True True Ordre 2 True Ordre 3 True True

(17)

In [5]: from fractions import Fraction c=[0,Fraction(1,2),1]

b=[Fraction(1,6),Fraction(2,3),Fraction(1,6)]

A=[[0,0,0],[Fraction(1,2),0,0],[-1,2,0]]

s=len(c)

print(sum([b[i]*c[i] for i in range(s)])==Fraction(1,2)) print("\nOrdre 3")

print(sum([b[i]*c[i]**2 for i in range(s)])==Fraction(1,3))

print(sum([b[i]*A[i][j]*c[j] for i in range(s) for j in range(s)])==Fraction(1,6))

schéma

Étant une méthode explicite à 3 étapes, elle a au mieux ordre 3. On vérifie ci-dessous qu'elle n'est que d'ordre 2:

⟹ 0

12

1 0

12

−1

−

¹₆

0 0 2

43

0 0 0

−

¹₆

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + , + ) K

2

t

n h

2

u

n h 2

K

1

= φ ( , + h(− + 2 )) K

3

t

n+1

u

n

K

1

K

2

= + (− + 8 − ) u

n+1

u

n h

6

K

1

K

2

K

3

n = 0, 1, … N − 1

Consistance True

True True True Ordre 2 True Ordre 3 True True

(18)

b=[-Fraction(1,6),Fraction(4,3),-Fraction(1,6)]

A=[[0,0,0],[Fraction(1,2),0,0],[-1,2,0]]

s=len(c)

print(sum([b[i]*A[i][j]*c[j] for i in range(s) for j in range(s)])==Fraction(1,6))

Exemples à 4 étages explicites

Un schéma RK à étages explicite a pour matrice de Butcher 4

avec ⟹

0 c

2

c

3

c

4

0 a

21

a

31

a

41

b

1

0 0 a

32

a

42

b

2

0 0 0 a

43

b

3

0 0 0 0 b

4

⎧

⎩ ⎨

⎪ ⎪

c

2

= a

21

= +

c

3

a

31

a

32

= + +

c

4

a

41

a

42

a

43

+ + + = 1 b

1

b

2

b

3

b

4

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

u

0

= y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + h , + h( )) K

2

t

n

c

2

u

n

a

21

K

1

= φ ( + h , + h( + )) K

3

t

n

c

3

u

n

a

31

K

1

a

32

K

2

= φ ( + h , + h( + + )) K

4

t

n

c

4

u

n

a

41

K

1

a

42

K

2

a

43

K

3

= + h ( + + + )

u

n+1

u

n

b

1

K

1

b

2

K

2

b

3

K

3

b

4

K

4

n = 0, 1, … N − 1

Consistance True

True True True Ordre 2 True Ordre 3 False False

(19)

Voici deux exemples (le premier est le plus connus):

schéma RK4-1 ("La" méthode de Runge-Kutta)

Il est bien d'ordre 4:

⟹ 0

12 12

1 0

12

0 0

16

0 0

12

0

13

0 0 0 1

13

0 0 0 0

16

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + , + )) K

2

t

n h

2

u

n h 2

K

1

= φ ( + , + ) K

3

t

n h

2

u

n h 2

K

2

= φ ( , + h ) K

4

t

n+1

u

n

K

3

= + ( + 2 + 2 + ) u

n+1

u

n h

6

K

1

K

2

K

3

K

4

n = 0, 1, … N − 1

(20)

b=[Fraction(1,6),Fraction(1,3),Fraction(1,3),Fraction(1,6)]

A=[[0,0,0,0],[Fraction(1,2),0,0,0],[0,Fraction(1,2),0,0],[0,0,1,0]]

s=len(c)

print(sum([b[i]*A[i][j]*c[j] for i in range(s) for j in range(s)])==Fraction(1,6)) print("\nOrdre 4")

print(sum([b[i]*c[i]*A[i][j]*c[j] for i in range(s) for j in range(s)])==Fraction(1,8)) print(sum([b[i]*A[i][j]*c[j]**2 for i in range(s) for j in range(s)])==Fraction(1,12))

print(sum([b[i]*A[i][j]*A[j][k]*c[k] for i in range(s) for j in range(s) for k in range(s)])==Fraction(1,24)) Consistance

True True True True True Ordre 2 True Ordre 3 True True Ordre 4 True True True True

(21)

schéma RK4-2

Il est bien d'ordre 4:

⟹ 0

14 12

1 0

14

0 1

16

0 0

12

−2 0

0 0 0 2

23

0 0 0 0

16

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + , + )) K

2

t

n h

4

u

n h 4

K

1

= φ ( + , + ) K

3

t

n h

2

u

n h 2

K

2

= φ ( , + h( − 2 + 2 )) K

4

t

n+1

u

n

K

1

K

2

K

3

= + ( + 4 + ) u

n+1

u

n h

6

K

1

K

3

K

4

n = 0, 1, … N − 1

(22)

b=[Fraction(1,6),0,Fraction(2,3),Fraction(1,6)]

A=[[0,0,0,0],[Fraction(1,4),0,0,0],[0,Fraction(1,2),0,0],[1,-2,2,0]]

s=len(c)

(23)

schéma RK4-3 (règle 3/8)

Il est bien d'ordre 4:

⟹ 0

13 23

1 0

13

−

¹₃

1

18

0 0 1

−1

38

0 0 0 1

38

0 0 0 0

18

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + , + )) K

2

t

n h

3

u

n h 3

K

1

= φ ( + h, + (− + 3 )) K

3

t

n 2

3

u

n h

3

K

1

K

2

= φ ( , + h( − + )) K

4

t

n+1

u

n

K

1

K

2

K

3

= + ( + 3 + 3 + ) u

n+1

u

n h

8

K

1

K

2

K

3

K

4

n = 0, 1, … N − 1

(24)

c=[0,Fraction(1,3),Fraction(2,3),1]

b=[Fraction(1,8),Fraction(3,8),Fraction(3,8),Fraction(1,8)]

A=[[0,0,0,0],[Fraction(1,3),0,0,0],[-Fraction(1,3),1,0,0],[1,-1,1,0]]

s=len(c)

(25)

Exemple à 5 étages explicite

Un schéma RK à étages explicite a pour matrice de Butcher

avec

Voici un exemple:

schéma de Merson

5 ⟹ 0

c

2

c

3

c

4

c

5

0 a

21

a

31

a

41

a

51

b

1

0 0 a

32

a

42

a

52

b

2

0 0 0 a

43

a

53

b

3

0 0 0 0 a

54

b

4

0 0 0 0 0 b

5

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

= u

0

y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + h , + h( )) K

2

t

n

c

2

u

n

a

21

K

1

= φ ( + h , + h( + ) K

3

t

n

c

3

u

n

a

31

K

1

a

32

K

2

= φ ( + h , + h( + + )) K

4

t

n

c

4

u

n

a

41

K

1

a

42

K

2

a

43

K

3

= φ ( + h , + h( + + + ))

K

5

t

n

c

5

u

n

a

51

K

1

a

52

K

2

a

53

K

3

a

54

K

4

= + h ( + + + + )

u

n+1

u

n

b

1

K

1

b

2

K

2

b

3

K

3

b

4

K

4

b

5

K

5

n = 0, 1, … N − 1

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪

= c

2

a

21

= +

c

3

a

31

a

32

= + +

c

4

a

41

a

42

a

43

= + + +

c

5

a

51

a

52

a

53

a

54

+ + + + = 1 b

1

b

2

b

3

b

4

b

5

⟹ 0

13 13 12

1 0

13 16 18 12 16

0 0

16

0 0 0

38

−

³₂

0 0 0 0 0 2

23

0 0 0 0 0

16

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

u

0

= y

0

= φ ( , ) K

1

t

n

u

n

= φ ( + , + ) K

2

t

n h

3

u

n h 3

K

1

= φ ( + , + ( + )) K

3

t

n h

3

u

n h

6

K

1

K

2

= φ ( + , + ( + 3 )) K

4

t

n h

2

u

n h

8

K

1

K

3

= φ ( + h, + ( − 3 + 4 )) K

5

t

n

u

n h

2

K

1

K

3

K

4

= + ( + 4 + ) u

n+1

u

n h

6

K

1

K

4

K

5

n = 0, 1, … N − 1

(26)

c=[0,Fraction(1,3),Fraction(1,3),Fraction(1,2),1]

b=[Fraction(1,6),0,0,Fraction(2,3),Fraction(1,6)]

A=[[0,0,0,0,0],[Fraction(1,3),0,0,0,0],[Fraction(1,6),Fraction(1,6),0,0,0],[Fraction(1,8),0,Fraction(3,8),0,0],[Fraction(1,2),0, -Fraction(3,2),2,0]]

s=len(c)

print(sum([b[i]*A[i][j]*A[j][k]*c[k] for i in range(s) for j in range(s) for k in range(s)])==Fraction(1,24))

Consistance True

M62_CM8 : Schémas à un pas de type Runge-Kutta

M62_CM8 : Schémas à un pas de type Runge-Kutta

Table of Contents

1 Schémas de Runge-Kutta 1.1 Matrice de Butcher 1.2 Ordre de convergence 1.3 A-stabilité

2 Exercice : schémas RK à un étage

2.1 Correction : écriture d'un schéma RK à un étage quelconque

2.2 Correction : étude de l'ordre d'un schéma RK à un étage quelconque 2.3 Correction : écriture d'un schéma RK à un étage explicite

2.4 Correction : étude de l'ordre d'un schéma RK à un étage explicite 2.5 Correction : étude de la A-stabilité

3 Exercice : schémas RK à deux étages

3.1 Correction : écriture d'un schéma RK à deux étages quelconque 3.2 Correction : écriture d'un schéma RK à deux étages semi-implicite 3.3 Correction : écriture d'un schéma RK à deux étages explicite

3.4 Correction : étude de l'ordre d'un schéma RK à deux étages explicite 3.5 Correction : étude de la A-stabilité des schémas explicites

4 Exemples à 3 étages explicites

5 Exemples à 4 étages explicites

6 Exemple à 5 étages explicite

Schémas de Runge-Kutta

Les schémas de Runge-Kutta sont des méthodes à un pas qui approchent l'intégrale par une formule de quadrature en des points donnés toujours à l'intérieur de l'intervalle :

Le problème est que, si n'est pas un point de la discrétisation, l'on ne connait pas . L'évaluation des en les points intérieurs et alors approchée par une autre formule de quadrature:

Cela donne

φ(t, y(t))dt

∫

[ ; t

t

]

t

φ(t, y(t))dt

∫

+ h avec ∈ [0; 1]

=

t

c

c

≈ h ∑ φ( , y( )).

b

t

t

t

y( t

) φ( t

, y( t

))

φ( t

, y( t

)) ≈ φ ( t

, y

+ h ∑ φ( , y( ))) .

a

t

t

≈ + h [ φ ( , + h φ( , ))]

y

y

∑

b

t

y

∑

a

t

y

Une méthode de Runge-Kutta à étages s'écrit:

Matrice de Butcher

Les coefficients sont généralement organisés en deux vecteurs , et une matrice . Le tableau

est appelée matrice de Butcher de la méthode Runge-Kutta considérée.

Si pour (i.e. la matrice est triangulaire inférieure stricte) alors la méthode est explicite car chaque peut être explicitement calculé en fonction des coefficients déjà connus;

dans les autres cas la méthode est implicite et il faut résoudre un système non linéaire de dimension pour calculer les . L’augmentation des calculs pour les schémas implicites rend leur utilisation coûteuse; un compromis acceptable est le suivant:

si pour (i.e. la matrice est triangulaire inférieure) alors la méthode est semi-implicite, i.e. chaque est solution de l’équation non linéaire

Un schéma semi-implicite implique donc la résolution de équations non linéaires indépendantes.

dépend de lui même, mais parce qu'au moins un dépend de lui même.

s ≥ 1

⎧

⎩

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

L'ordre d'une méthode RK explicite à étapes ne peut pas être plus grand que . De plus, il n’existe pas de méthode à étapes d’ordre si .

L'ordre d'une méthode RK implicite à étapes ne peut pas être plus grand que .