1 Valeurs approch´ ees d’une int´ egrale

(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2012-2013

D. Blotti`ere Maple

TP n˚3

Valeurs approch´ ees d’une int´ egrale et

fonctions de plusieurs variables

Table des mati` eres

1 Valeurs approch´ees d’une int´egrale 2

1.1 Rappel sur l’interprétation géométrique d’une intégrale . . . 2

1.2 Heuristique . . . 2

1.2.1 Du calcul d’une int´egrale au calcul d’une aire . . . 2

1.2.2 De l’aire `a calculer `a l’aire d’un domaine^≪simple^≫ . . . 2

1.2.3 Subdiviser pour r´eduire l’erreur commise . . . 3

1.2.4 Subdivision régulière de l’intervalle [a, b] à N pas . . . 4

1.2.5 Bilan . . . 4

1.3 Introduction d’une fonction pour les tests . . . 5

1.4 La m´ethode des rectangles `a droite (cf. Sommes de Riemann) . . . 5

1.4.1 Choix de l’aire^≪simple^≫ . . . 5

1.4.2 Expression de la valeur approch´ee pourN pas . . . 6

1.4.3 R´esultats th´eoriques . . . 7

1.4.4 Impl´ementation en Maple . . . 7

1.5 La m´ethode des rectangles au milieu . . . 8

1.6 La m´ethode des trap`ezes . . . 10

1.7 Remarques . . . 12

2 Fonctions de plusieurs variables 13 2.1 Graphe d’une fonction deR² dansRet continuit´e en un point . . . 13

2.2 Graphe d’une fonction deR² dansRet pr´esence d’un extremum local . . . 13

2.3 Graphe d’une fonction deR² dansRet point critique non extremum local . . . 13

2.4 Recherche des extrema ´eventuels d’une fonction deR²dansR . . . 13

(2)

1 Valeurs approch´ ees d’une int´ egrale

1.1 Rappel sur l’interpr´ etation g´ eom´ etrique d’une int´ egrale

On fixe un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j) du plan. On considère l’unité d’aire, donnée par l’aire d’un carré de côté de longueur||−→

i||.

• Soitf une fonction continue sur [a, b] et positive sur [a, b], i.e. telle que pour toutx∈[a, b],f(x)≥0.

• SoitD(f, a, b) le domaine du plan délimité par – la courbeCf représentant la fonctionf; – l’axe des abscisses ;

– les droites d’´equationsx=aetx=b.

Figure 1

1

b=1 a= 0

Cf

D(f, a, b)

• Alors on a : Aire deD(f, a, b) = Z b

a

f(x)dx.

La notion d’intégrale est donc étroitement liée aux calculs d’aires.

1.2 Heuristique

On conserve les notations de la partie 1.1.

1.2.1 Du calcul d’une int´egrale au calcul d’une aire

Pour calculer une valeur approch´ee de Z b

a

f(x) dx on va en fait chercher à calculer une valeur approchée de l’aire du domaineD(f, a, b). D’après le résultat encadré ci-dessus, cela revient au même.

1.2.2 De l’aire `a calculer `a l’aire d’un domaine ^≪simple^≫

On sait calculer l’aire de domaines^≪simples^≫, comme les rectangles ou les trap`ezes par exemple.

• L’aire d’un rectangle de longueurL et de largeurlest L×l.

• L’aire d’un trap`eze de hauteurhet de bases de longueursb1 etb2 esth×b1+b2

2 .

On pourrait penser `a approcher brutalement le domaine par un rectangle ou par un trap`eze comme ci-dessous :

(3)

Figure 2

1

1 b= a= 0

1

1 b= a= 0

mais l’erreur commise risque d’ˆetre importante (comme on le voit sur cet exemple).

1.2.3 Subdiviser pour r´eduire l’erreur commise

Remplacer l’aire à calculer par l’aire de domaines ^≪simples^≫ sur [a, b] globalement n’étant pas pertinent, on va procéder en deux temps :

1. on va d´ecouper [a, b] en^≪petits^≫ intervalles ;

2. on va effectuer le remplacement au-dessus de chacun de ces ^≪petits^≫ intervalles.

Pour illustrer cette démarche, on a découpé ci-dessous l’intervalle [a, b] en 5 sous-intervalles de même longueur et effectuer le remplacement sur chacun d’entre eux.

Figure 3

1

1 1 5

2 5

3 5

4

5 b=

a= 0

1

1 1 5

2 5

3 5

4

5 b=

a= 0

L’erreur commise semble moins grande, pour chacune des deux m´ethodes.

Intuitivement, on peut penser que plus on aura découpé l’intervalle [a, b] en un nombre^≪grand^≫ de morceaux, plus l’approximation sera de qualité.

L’objet de la section suivante est de donner une^≪formule^≫ pour les points qui apparaissent, quand on divise l’intervalle [a, b] enN sous-intervalles de mˆeme longueur,N ´etant un entier naturel non nul.

(4)

1.2.4 Subdivision régulière de l’intervalle[a, b]à N pas

SoitN un entier naturel non nul. Si l’on divise l’intervalle [a, b] enNintervalles de mˆeme longueur, alors chacun desN intervalles aura comme longueur :

b−a N .

Cette quantité est appelée le pas et est notéepN. On dit que le pas de la subdivision est b−a N . Les extrémités des intervalles de cette subdivision sont :

a0 = a

a1 = a+b−a N a2 = a+ 2 b−a

N ...

aN−1 = a+ (N−1) b−a N aN = a+N b−a

N =b.

Figure 4

× a0=a

b−a N

z }| {

b−a N

z }| {

b−a N

z }| {

× a1

× a2

× a3

b−a N

z }| {

× aN−1

× aN =b

On a pour tout k∈J0, NK:ak=a+k b−a N . 1.2.5 Bilan

A la fin de cette discussion, on peut penser `` a proc´eder comme suit pour obtenir une bonne^≪valeur approch´ee^≫ de

Z b a

f(x)dx.

1. Subdiviser l’intervalle [a, b] enN (N ∈N^∗) intervalles de mˆeme longueur b−a

N (le pas de la subdivision) de sorte que

[a, b] = [a0, a1] ∪ [a1, a2] ∪ [a2, a3] ∪ . . . ∪ [aN−1, aN] o`u pour toutk∈J0, NK:

ak=a+k b−a N . On a donc en particulier a0=aet aN =b.

2. Pour toutk∈J0, N−1K, remplacer l’aire exacte au-dessus de [ak, ak+1] qui est Z ak+1

ak

f(x)dx par l’aire

AireSimple_[ak,ak+1]

d’une figure ^≪plus simple^≫ (s’appuyant sur le segment [ak, ak+1]) comme celle d’un rectangle o`u d’un trap`eze (cf. figure 3).

(5)

3. La valeur approch´ee de Z b

a

f(x)dxainsi obtenue sera :

N−1

X

k=0

AireSimple_[ak,ak+1] = AireSimple_[a₀_,a₁_]+ AireSimple_[a₁_,a₂_]+. . .+ AireSimple_[aN−1,aN]. La question de la qualité de l’approximation ainsi obtenue se posera alors. On aimerait avoir les propriétés suivantes.

• Convergence

N−1X

k=0

AireSimple_[a_k_,a_k+1_] →

N→+∞

Z b a

f(x)dx.

• Contrˆole de l’erreur commise

Une estimation de l’erreur

N−1

X

k=0

AireSimple_[ak,ak+1]− Z b

a

f(x)dx

commise, avec un comportement asymptotique explicite quand N tend vers +∞. Par exemple, l’erreur est unO(_N¹2).

1.3 Introduction d’une fonction pour les tests

Exercice 1

1. D´efinissez la fonction Maple

phi :x7→ 875

24 x⁴−425

6 x³+985

24 x²−37 6 x+1

2.

Attention : on demande de d´efinir une fonction, pas une expression enx. Pour v´erifier, saisissez phi(0);

(vous devez obtenir ¹₂).

2. Tracer le graphe de la fonction phi au-dessus de [0,1].

Exercice 2 : Justifier, math´ematiquement, sans l’aide de Maple, que : Z 1

0

phi(x)dx∈Q.

Exercice 3 : Calculer la valeur exacte de Z 1

0

phi(x) dx en ne saisissant que des nombres rationnels et en n’utilisant aucune commande Maple (typiquement pas la commandeint). On stockera le r´esultat dans la variable nomm´eevaleur_exacte.

1.4 La m´ ethode des rectangles ` a droite (cf. Sommes de Riemann)

Les notations sont celles de la partie 1.2, en particulier celles de 1.2.5 (Bilan).

1.4.1 Choix de l’aire^≪simple^≫

Ici pour toutk ∈J0, N−1K, on remplace l’int´egrale Z ak+1

ak

f(x)dxpar l’aire AireSimple_[ak,ak+1] du rectangle dont trois des sommets ont pour coordonn´ees :

(ak,0) ; (ak+1,0) ; (ak+1, f(ak+1)).

On prend donc pour AireSimple_[ak,ak+1] l’aire gris´ee suivante :

(6)

Figure 5

ak f(ak)

ak+1 f(ak+1)

i.e.

AireSimple_[a_k_,a_k+1_]=f(ak+1)×(ak+1−ak

| {z }

pas

) =f





a+ (k+ 1)b−a

| {z N }

ak+1





×b−a N .

1.4.2 Expression de la valeur approch´ee pour N pas SiN = 5, alors on approxime la valeur de

Z b a

f(x)dxpar la somme des aires gris´ees ci-dessous.

Figure 6

1

1 1

5 2

5 3

5 4

5 b=

a= 0

Avec ces choix, la valeur approch´ee pourN pas est :

RDN :=

N−1

X

k=0

AireSimple_[ak,ak+1]=

N−1

X

k=0

f

a+ (k+ 1)b−a N

×b−a N . Remarque : RDN est une somme de Riemann.

(7)

1.4.3 R´esultats th´eoriques

On suppose ici que la fonctionf est de classeC¹ sur l’intervalle [a, b]. Soit M1= sup

x∈[a,b]

|f^′(x)|.

Alors,f estM1-lipschitzienne (en appliquant l’in´egalit´e des accroissements finis).

On d´emontre que pour tout N ∈N^∗:

RDN− Z b

a

f(x)dx

| {z }

Erreur commise

≤ M1(b−a)²

N .

L’erreur est donc un O _N¹ .

• Convergence

De l’encadrement précédent, on déduit que : RDN →

N→+∞

Z b a

f(x)dx.

1.4.4 Impl´ementation en Maple

Exercice 4 : On consid`ere la proc´edure Mapleaire_rectangle_a_droite, d’argument (f, a, b)

oùf représente une fonction définie, continue et positive sur [a, b].

aire_rectangle_a_droite:=proc(f,a,b) local longueur, largeur ;

longueur := f(b) ; largeur := b-a ;

return(longueur*largeur) ; end proc ;

Saisir ce code, le commenter ligne à ligne et déterminer ce que fait la procédureaire_rectangle_a_droite.

On pourra saisir

evalf[20](aire_rectangle_a_droite(phi,0,1)) ; pour tester cette proc´edure.

Exercice 5 : On consid`ere la proc´edure Maplemethode_rectangles_a_droite, d’argument (f, valeur init, valeur f in, nb pas)

oùf représente une fonction définie, continue et positive sur [valeur init, valeur f in] et oùnb pasest un entier naturel non nul.

methode_rectangles_a_droite := proc(f , valeur_init , valeur_fin , nb_pas) local a , pas , aire , k ;

pas := ( valeur_fin - valeur_init )/nb_pas ; a := valeur_init ;

aire := 0 ;

for k from 0 to (nb_pas-1) do

aire := aire + aire_rectangle_a_droite(f , a , a + pas) ; a := a + pas ;

od ;

return(aire) ; end proc ;

(8)

Saisir ce code, le commenter ligne à ligne et déterminer ce que fait la procéduremethode_rectangles_a_droite.

On pourra saisir

val_rectangles_a_droite := evalf[20](methode_rectangles_a_droite(phi,0,1,5000));

pour tester cette proc´edure.

Exercice 6 : Stocker l’erreur commise en appliquant la m´ethode des rectangles `a droite pour le calcul de Z 1

0

phi(x)dxen prenant 5000 pas dans une variable nomm´eeerreur_rectangles_a_droite.

On pourra utiliser la variablevaleur_exacteintroduite dans l’exercice 3.

1.5 La m´ ethode des rectangles au milieu

Ici pour tout k∈J0, N−1K, on remplace l’int´egrale Z ak+1

ak

f(x)dxpar l’aire AireSimple_[ak,ak+1] du rectangle dont trois des sommets ont pour coordonn´ees :

(ak,0) ; (ak+1,0) ;

ak+1, f

ak+ak+1

2

. On prend donc pour AireSimple_[ak,ak+1] l’aire gris´ee suivante :

Figure 7

ak f(ak)

f_a

k+ak+1 2

ak+1 ak+ak+1

2

f(ak+1)

i.e.

AireSimple_[ak,ak+1]=f

ak+ak+1

2

×(ak+1−ak

| {z }

pas

) =f

ak+ak+1

2

×b−a N .

Z b a

(9)

Figure 8

1

1 1 5

2 5

3 5

4

5 b=

a= 0

RMN :=

N−1

X

k=0

AireSimple_[ak,ak+1] =

N−1

X

k=0

f

ak+ak+1

2

×b−a N .

On suppose ici que la fonctionf est de classeC² sur l’intervalle [a, b]. Soit M2= sup

x∈[a,b]

|f^′′(x)|.

RMN− Z b

a

f(x)dx

| {z }

Erreur commise

≤ M2(b−a)³ 24N² .

L’erreur est donc un O _N¹2

.

• Convergence

De l’encadrement précédent, on déduit que :

RMN →

N→+∞

Z b a

f(x)dx.

Exercice 7 : Ecrire une proc´edure Maple´ aire_rectangle_au_milieu, d’argument (f, a, b)

oùf représente une fonction définie, continue et positive sur [a, b] qui retourne la valeur de l’aire du rectangle du rectangle dont trois des sommets ont pour coordonnées :

(a,0) ; (b,0) ;

b, f a+b

2

. On pourra s’inspirer de la proc´edureaire_rectangle_a_droiteet saisir

evalf[20](aire_rectangle_au_milieu(phi,0,1)) ;

(10)

pour tester la proc´edure construite.

Exercice 8 : Ecrire une proc´edure Maple´ methode_rectangles_au_milieu, d’argument (f, valeur init, valeur f in, nb pas)

oùf représente une fonction définie, continue et positive sur [valeur init, valeur f in] et oùnb pasest un entier naturel non nul, qui retourne la valeur approchée du calcul de l’intégrale

Z valeur f in valeur init

f(x)dx

par la méthode des rectangles au milieu avec un nombre de pas égal à nb pas, décrite auparavant (parties 1.5.1 et 1.5.2).

On pourra utiliser la proc´edureaire_rectangle_au milieu, s’inspirer de la proc´eduremethode_rectangles_a_droite et saisir

val_rectangles_au_milieu := evalf[20](methode_rectangles_au_milieu(phi,0,1,5000));

Exercice 9

1. Stocker l’erreur commise en appliquant la m´ethode des rectangles au milieu pour le calcul de Z 1

0

phi(x)dx en prenant 5000 pas dans une variable nomm´eeerreur_rectangles_au_milieu.

On pourra utiliser la variable valeur_exacteintroduite dans l’exercice 3.

2. Comparer les valeurs des variables erreur_rectangles_a_droite, erreur_rectangles_au_milieuet commenter.

1.6 La m´ ethode des trap` ezes

Ici pour tout k ∈ J0, N −1K, on remplace l’int´egrale Z ak+1

ak

f(x) dx par l’aire AireSimple_[ak,ak+1] du trap`eze droit dont les sommets ont pour coordonn´ees

(ak,0) ; (ak, f(ak)) ; (ak+1,0) ; (ak+1, f(ak+1)).

On prend donc pour AireSimple_[ak,ak+1] l’aire gris´ee suivante :

Figure 9

ak f(ak)

ak+1 f(ak+1)

(11)

i.e.

AireSimple_[ak,ak+1] =f(ak) +f(ak+1)

2 ×(ak+1−ak

| {z }

pas

) = f(ak) +f(ak+1)

2 ×b−a

N .

Z b a

Figure 10

1

1 1 5

2 5

3 5

4

5 b=

a= 0

TN :=

N−1X

k=0

AireSimple_[a_k_,a_k+1_]=

N−1X

k=0

f(ak) +f(ak+1)

2 ×b−a

N .

On suppose ici que la fonctionf est de classeC² sur l’intervalle [a, b]. Soit M2= sup

x∈[a,b]

|f^′′(x)|.

TN− Z b

a

f(x)dx

| {z }

Erreur commise

≤M2(b−a)³ 12N² .

L’erreur est donc un O _N¹2

.

• Convergence

De l’encadrement précédent, on déduit que : TN →

N→+∞

Z b a

f(x)dx.

(12)

Exercice 10 : Ecrire une proc´edure Maple´ aire_trapeze, d’argument (f, a, b)

où f représente une fonction définie, continue et positive sur [a, b] qui retourne la valeur de l’aire du trapèze droit dont les sommets ont pour coordonnées

(a,0) ; (a, f(a)) ; (b,0) ; (b, f(b)).

On pourra s’inspirer de la proc´edureaire_rectangle_a_droiteet saisir evalf[20](aire_trapeze(phi,0,1)) ; pour tester la proc´edure construite.

Exercice 11 : Ecrire une proc´edure Maple´ methode_trapezes, d’argument (f, valeur init, valeur f in, nb pas)

oùf représente une fonction définie, continue et positive sur [valeur init, valeur f in] et oùnb pasest un entier naturel non nul, qui retourne la valeur approchée du calcul de l’intégrale

Z valeur f in valeur init

f(x)dx

par la méthode des trapèzes avec un nombre de pas égal à nb pas, décrite auparavant (parties 1.6.1 et 1.6.2).

On pourra utiliser la proc´edureaire_trapeze, s’inspirer de la proc´edure methode_rectangles_a_droiteet saisir

val_trapezes := evalf[20](methode_trapezes(phi,0,1,5000));

Exercice 12

1. Stocker l’erreur commise en appliquant la m´ethode des rectangles au milieu pour le calcul de Z 1

0

phi(x)dx en prenant 5000 pas dans une variable nomm´eeerreur_trapezes.

On pourra utiliser la variable valeur_exacteintroduite dans l’exercice 3.

2. Comparer les valeurs des variableserreur_rectangles_a_droite,erreur_rectangles_au_milieu, erreur_trapezeset commenter.

1.7 Remarques

1. D’après les résultats théoriques énoncés pour chacune des trois méthodes précédentes (rectangles à droite, rectangles au milieu, trapèzes), si la fonction est de classeC²sur le segment d’intégration, alors les méhodes des rectangles au milieu et des trapèzes sont comparables (erreur en O _N¹2

) et sont meilleures que la m´ethode des rectangles `a droite (erreur en O _N¹

),N d´esignant le nombre de pas.

2. Il existe d’autres méthodes de calculs approchés de valeurs d’intégrales, meilleures que celles exposées auparavant.

Citons simplement la méthode de Simson qui, sous l’hypothèse que la fonction soit C⁴ sur le segment d’intégration, donne une erreur en O _N¹4

. Dans la méthode de Simson, les aires ^≪simples^≫ sont des aires sous des courbes de fonctions polynomiales de degrés inférieurs ou égaux à 2.

(13)

2 Fonctions de plusieurs variables

2.1 Graphe d’une fonction de R

²

dans R et continuit´ e en un point

Exercice 13 : Soitf la fonction

f:R²→R; (x, y)7→











(x+y) cos 1

x²+y²

si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0).

1. Tracer le graphe de la fonction f au-dessus du carr´e [−0,1; 0,1]×[−0,1; 0,1]. On veillera `a afficher les axes (sous forme de boˆıte par exemple).

Mots cl´es : with(plots),plot3d.

2. Étudier la continuité de la fonctionf en (0,0). On démontrera le résultat.

2.2 Graphe d’une fonction de R

²

dans R et pr´ esence d’un extremum local

Exercice 14 : Soitgla fonction¹

g: R²→R; (x, y)7→ln(1 +x²+y²).

1. Tracer le graphe de la fonctiong au-dessus du carr´e [−1; 1]×[−1; 1]. On veillera `a afficher les axes (sous forme de boˆıte par exemple).

2. Conjecturer un extremum local.

3. D´emontrer la conjecture faite en 2.

2.3 Graphe d’une fonction de R

²

dans R et point critique non extremum local

Exercice 15 : Soithla fonction

h:R²→R; (x, y)7→x²−y².

1. Tracer le graphe de la fonctionhau-dessus du carr´e [−1; 1]×[−1; 1]. On veillera `a afficher les axes (sous forme de boˆıte par exemple).

2. Le point (0,0) est-il un extremum local de h? On d´emontrera le r´esultat.

2.4 Recherche des extrema ´ eventuels d’une fonction de R

²

dans R

Exercice 16 : Soitkla fonction d´efinie par : k:R²→R; (x, y)7→ 1

4(x²+y²)²−(x−1)(x²−y²).

D´eterminer les extrema locaux ´eventuels de la fonctionk.

Mots cl´es :diff,solve,allvalues,rhs,lhs,mtaylor,coeff.

1. Cette fonction a été étudiée dans le cours de Mme Detais.