Feuille de TD2 : M´ethodes de r´esolution explicite

Feuille de TD2 : M´ethodes de r´esolution explicite

Faire au moins : 1i), ii) ; 2Ai), ii), iii), 2B) ; 3A) ; 4 ; 5i), ii). Les questions 1i), 2A.i), 2A.ii), 2.B), puis 5.1) et 5.2) pour le deuxi`eme TD doivent avoir ´et´e pr´epar´ees `a la maison.

Exercice 1 Equations `a variables s´eparables R´esoudre les ´equations suivantes :

i) x^′(t) =tx(t) ii)x^′(t) =x²(t), x(0) = 1 iii) x^′(t) = 1 +x²(t) 1 +t² Exercice 2 Equations lin´eaires du premier ordre

A) Trouver toutes les solutions (maximales) des probl`emes de Cauchy suivants : i) x^′(t) =e^tx(t), x(0) = 1

ii) x^′(t) =ax(t) +b, x(0) = 0 iii) x^′(t) =x(t) + sin(t), x(0) = 1

iv) (1 +t²)x^′(t) +tx(t) = 1

B) On admet que le sucre se dissout dans l’eau `a une vitesse proportionnelle `a la diff´erence entre la concentration en sucre de la solution et la concentration de saturation. On consid`ere un volume d’eau qui contient 50 kg de sucre dissous lorsque la concentration est satur´ee. On introduit ces 50 kg dans ce volume d’eau pure `a l’instant t = 0. Trois heures plus tard, il reste 25 kg de sucre non dissous. Combien de temps s’´ecoulera-t-il encore pour qu’il ne reste plus que 10 % de la quantit´e de sucre initiale?

Exercice 3 Equations de Bernoulli Elles sont de la forme suivante:

x^′(t) =a(t)x(t) +b(t)xⁿ(t), avec n6= 1.

A) Faire le changement de fonction inconnue u(t) =x¹⁻ⁿ(t). Montrer queu v´erifie une

´equation diff´erentielle lin´eaire.

B) En d´eduire la solution du probl`eme de Cauchy suivant x^′(t) =x(t)−e^tx³(t), x(0) = 1 Exercice 4 Equations de Riccati

Elles sont de la forme suivante:

x^′(t) =a(t)x(t) +b(t)x²(t) +c(t), avec n6= 1.

A) On suppose connue une solution particuli`ere u. Montrer alors quev(t) =x(t)−u(t) v´erifie une ´equation de Bernoulli.

B) En d´eduire les solutions du probl`eme :

x^′(t) =x(t)−x²(t)−p, x(0) = 1 (0≤p≤1/4) 1

Exercice 5 Solutions maximales On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y^′(t) +y(t)−ty²(t) = 0. (1)

1/. Soit t0 ∈ R. D´eterminer la (ou les) solution(s) maximale(s) de l’´equation (1) telle que y(t⁰) = 0.

2/. Soit y une solution de (1) qui ne s’annule pas sur R. D´eterminer une expression analytique de y(t). On pourra s’inspirer de l’exercice 3.

3/. Soit

F :R → R

t 7→ F(t) = (1 +t)e^−t. (i) Dresser un tableau de variation de F.

(ii) Soit K ∈ R. D´eterminer, suivant la valeur de K, le nombre de solution(s) de l’´equation

F(t) =K.

4/. D´eterminer l’ensemble des solutions maximales de l’´equation (1).

Exercice 6 (A priori, ne sera pas trait´e en TD par manque de temps)Le mod`ele ´economique de Solow suppose la production globaleP d’une entit´e ´economique fonction du capitalK et de la quantit´e de travail T disponible `a la datet :

P =f(K, T).

La variation instantan´ee du capital est proportionnelle `a la production et la quantit´e de travail augmente selon un taux constant:

K˙ =aP, T˙ =bT .

a) En supposant f homog`ene de degr´e 1, d´eterminer l’´equation v´erifi´ee par le rapport x= ^K_T.

b) Etudier l’´evolution possible deK etT pr´edite par le mod`ele lorsquef est la fonction de Cobb-Douglas:

f(K, T) =cK^αT^β, (c >0, α+β = 1).

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