D1972. Le rendez-vous d’Euler et de Feuerbach avec Poncelet
La distance d qui sépare le centre O d’un cercle (Γ) de rayon R et le centre I d’un cercle (γ) de rayon r est telle que d2 = R(R – 2r).
Q₁ Démontrer qu’on sait tracer une infinité de triangles ABC qui admettent (Γ) comme cercle circonscrit et (γ) comme cercle inscrit .
Q₂ Soit un triangle ABC admettant (Γ) comme cercle circonscrit et (γ) comme cercle inscrit.
Déterminer le lieu du milieu du segment qui relie le centre du cercle d’Euler au point de Feuerbach quand A se déplace sur la circonférence de (Γ).
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Q1 Dans tout triangle la distance entre le centre I du cercle inscrit et le centre O du cercle circonscrit est donnée par la racine carrée de R(R-2r) où R et r sont les rayons circonscrit et inscrit. En
particulier, à partir de (Γ) et (γ), toute corde AB dans (Γ) qui est tangente à (γ) est coté d’un triangle ABC admettant (Γ) comme cercle circonscrit et (γ) comme cercle inscrit .
Q1 Le centre I se trouve sur le segment joignant le point F de Feuerbach et le centre J du cercle d’Euler ; de plus la distance IJ vaut R/2-r donc (puisque |IF|=r) le milieu de NF est aussi sur la droite IJ et à distance r/2 de I. Le lieu est donc le cercle de entre I et rayon r-R/4.