D1876. Un nouveau venu dans une ancienne saga
Dans un cercle (Γ) de rayon r, on trace une corde AB de longueur > r puis un point P sur cette corde tel que AP = r. Soit le point C sur (Γ) tel que CP = BP. La médiatrice de BP coupe (Γ) en deux points D et E.
Q1 Déterminer la valeur de l’angle ang DCE
Q2 Démontrer que P est le centre du cercle inscrit au triangle CDE.
Solution proposée par Gaston Parrour
(Γ1)
(Γ) (Γ ')
La figure ci-dessus résume les données. En particulier le cercle (Γ) a pour rayon SO = r N.B. Le point P1 (voisin de P sur la figure) sera explicité en question Q2
Préliminaires
Pour une corde AB donnée, la construction décrite revient à
→ P se déduit de A par une translation de longueur r , selon [AB] et de sens approprié (P entre A et B) Dans cette translation,
→ le cercle (Γ) est transformé en un cercle (Γ ') de même rayon r et dont le centre O' est sur (Γ) ( de même le centre O de (Γ) est sur le cercle (Γ ') , et bien sûr [OO'] est parallèle à [AB] ) (Γ) et (Γ ') se coupent en D et E. La droite [DE], axe radical, est perpendiculaire à la droite des centres [OO']
→ Puisqu'ici les 2 cercles sont égaux [DE] est axe de symétrie de la figure constituée par ces 2 cercles
En particulier
Le point P qui par la translation est le transformé du point A sur (Γ), se trouve donc sur (Γ ') Et P a donc pour symétrique par rapport à [DE] , un point sur (Γ) , le point B (extrémité de la corde AB) ==> L'axe radical [DE] des 2 cercles est la médiatrice du segment PB
Notation : dans ce qui suit le sommet d'un angle, noté par exemple ang DCE , est la lettre ''médiane ; ici C Q1 Déterminer la valeur de l’angle ang DCE
Le cercle (Γ1) de centre P et rayon r1 = PB recoupe le cercle initial (Γ) en C Sur (Γ) DCEB est un quadrilatère inscrit → ang DCE = PI – ang DBE Par symétrie par rapport à [DE] → ang DBE = ang DPE
C
A B
D
E
O O'
H' P
S r H
r1
a P1
r
Et puisque P et O sont sur (Γ ') → ang DPE = ang DOE (angles inscrits interceptant le même arc) D'où ang DCE = PI – ang DOE
Calcul de ang DOE : avec O O' = r → le triangle ODO' est équilatéral → ang DOE = 2 ang DOO' = 2 PI / 3
Ainsi
==> ang DCE = PI / 3
N.B on peut aussi bien utiliser ''l'arc capable'' lié à l'angle ang DCE sous lequel ''est vu'' la corde constante DE de (Γ) Cet arc est la moitié de l'angle au centre correspondant (ang DOE)
Q2 Démontrer que P est le centre du cercle inscrit au triangle CDE Avec les notations de la figure :
1 - Montrons :
→ si CP est bissectrice de ang DCE, cela entraîne que DP est bissectrice de ang EDC
Dans le triangle PDC
sin (ang PDC) / r1 = sin (ang PCD) / PD → sin (ang PDC) = sin (ang PCD) r1 / PD (1) Dans le triangle rectangle PDH'
sin (ang PDH') / PH' = 1/ PD et avec PH' = r1/2 → sin (ang PDH') = r1 / (2 PD) (2) Donc si CP est bissectrice de ang DCE → ang PCD = ( ang DCE) / 2 = PI / 6
et avec (1) et (2) sin (ang PDC) = sin (ang PDH') Puisqu'il s'agit ici d'angles géométrique inférieurs à PI/2 :
==> ang PDC = ang PDH' = ang PDE → DP bissectrice de ang CDE 2 - Il reste à montrer :
→ CP est bissectrice de ang DCE Considérons la droite [CO'] .
Elle coupe la corde AB en un point P1; P1 est a priori distinct de P défini dans l'énoncé.
Sur le cercle (Γ) la puissance de P1 par rapport au cercle conduit à → P1A x P1B = P1C x P1O' (3) Par construction le point P est tel que PA = r PO' = r (car P est sur (Γ ') de rayon r)
et PC = PB → P satisfait à la relation (3)
Or pour des points A , B , C , O' donnés sur le cercle, seules les 2 intersections possibles (ici celle de [AB] et [CO'] ou celle de [AO'] et [CB] ) satisfont une telle relation (3) d'égalité entre puissances.
Il est clair qu'ici il s'agit de l'intersection P1 de [AB] avec [CO'] et donc
==> P1 est confondu avec P → les points C P et O' sont alignés Ainsi sur (Γ) :
ang DC(P)O' (sommet C) intercepte l'arc DO' moitié (par symétrie) de arc DE intercepté par ang DCE ==> CP est bissectrice de ang DCE et → ang PCD = PI / 6
Conclusion
Avec ce qui précède :
==> P à l'intersection de 2 bissectrices intérieures du triangle DCE est le centre de son cercle inscrit
