D285. Le carrousel des fourmis
La reine des fourmis se trouve en un point F d’où elle voit une brindille rectiligne XY sous un angle α de 20°15’. Elle place dans le sens anti-horaire p fourmis ouvrières aux sommets x1,x2,... d’un polygone régulier de p + 2 côtés dont XF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle FXY. De la même manière, elle place dans le sens horaire q fourmis ouvrières aux sommets y1,y2,... d’un polygone régulier de q + 2 côtés dont YF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle FXY. (voir un exemple ci-après avec p = 5 fourmis sur les sommets x1,x2,x3,x4 et x5 d’un heptagone et q= 3 fourmis sur les sommets y1,y2 et y3 d’ un pentagone ).
La reine des fourmis se déplace sur la courbe (Γ) située au dessus de la brindille XY d’où elle voit cette dernière toujours sous le même angle α. Toutes les fourmis respectent à tout moment le carrousel des deux polygones réguliers qui se dilatent ou se rétractent proportionnellement à FX et FY quand la reine se déplace. Quand celle-ci a achevé son périple de X en Y, quatre fourmis ont parcouru exactement la même distance. Sachant qu’il y a au total 77 fourmis ouvrières, déterminer p et q.
Solution proposée par Gaston Parrour
Notations et remarques préliminaires
Le polygone régulier (P) avec p fourmis ouvrières, possède n= p+2 côtés Le polygone régulier (Q) avec q fourmis ouvrières, possède n'= q+2 côtés Puisque p+q = 77, n+n' = 81 donc un entier est impair et l'autre est pair.
→ Dans la suite : on considère que le polygone (P) possède n (impair) côtés le polygone (Q) possède n' (pair) côtés On définit (pour simplifier l'écriture) a = pi/n et a' = pi/n'
A chaque étape de ce carrousel :
→ Le polygone régulier (P) est inscrit dans un cercle de rayon R = (XF/2)/sin(a) (centre instantané O) Le polygone régulier (Q) est inscrit dans un cercle de rayon R' = (YF/2)/sin(a') (centre instantané O')
→ Lors de l'évolution de ces deux polygones réguliers (évolution de F), des angles se conservent.
En particulier :
angle au centre sous-tendu par un côté dans (P) 2pi/n = 2a angle au centre sous-tendu par un côté dans (Q) 2pi/n' = 2a' , Et aussi, dans les polygones (P) et (Q) : ,
toutangle a
xm entre XF et une corde quelconque XXm issue de X et relative à la fourmi en Xm dans (P), tout angle a
ym' entre YF et une corde quelconque YYm' issue de Y et relative à la fourmi en Ym' dans (Q), reste constant lors de l'évolution de F ;
CAR ces angles sont des angles liés aux 2 polygones réguliers qui demeurent semblables à eux-mêmes.
→ Avec le rang m (ou m') [ défini comme dans l'énoncé ] de chaque fourmi sur (P) (ou sur (Q)), on exprime : - la longueur d'une corde XXm reliant le pont fixe X à la fourmi en Xm dans (P)
XXm = 2R sin ((m+1)a) XXm = XF sin ((m+1)a) / sin(a) (1) - la longueur d'une corde YYm' reliant le point fixe Y à la fourmi en Ym' dans (Q)
YYm' = YF sin ((m'+1)a') /sin(a') (2)
N.B. Lorsque la reine F se déplace de X vers Y dans les conditions données, elle décrit ici un arc de cercle : l'arc capable sous lequel on voit XY sous l'angle constant α donné.
Compte tenu de ce qui précède, lorsque F se déplace de X vers Y :
→ les trajectoires des fourmis de (P) se déduisent de la trajectoire de F par des similitudes de centre X Plus précisément, la fourmi m en Xm, décrit ici un arc de cercle déduit de l'arc de cercle - trajectoire de F -, par une similitude Sx( a
xm , k
m)
Cette similitude, consiste à partir du point fixe X, et pour chaque position F de la reine : - à effectuer une rotation de XF d'angle constant a
xm(voir ci-dessus), puis à partir du point Fm ainsi obtenu, - à effectuer une homothétie de rapport k
m= sin ((m+1)a)/sin(a) (voir (1) ci-dessus) De même
→ les trajectoires des fourmis de (Q) se déduisent de la trajectoire de F par des similitudes de centre Y La fourmi m' en Ym', décrit un arc de cercle déduit de l'arc de cercle décrit par F, par une similitude Sy( a
ym' , k
m')
d' angle de rotation a
ym' et de rapport k
m' = sin ((m'+1)a')/sin(a') (voir (2) ci-dessus)
Remarque : deux fourmis m et m1, liées à un même polygone, décrivent des trajectoires de même longueur si
² k
m = k
m1 Dans (P) par exemple, cela se traduit par
(m+1)a = (m1+1)a soit m = m1 (il s'agit de la même fourmi ! ) ou par (m+1)a = pi -(m1+1)a soit (m+1) + (m1+1) = pi/a = n
Ce dernier cas exprime en fait que
→ deux fourmis en position symétrique par rapport au diamètre passant par X ont des trajectoires égales.
Cela est bien sûr également valable dans le polygone (Q) :
→ deux fourmis en position symétrique par rapport au diamètre passant par Y ont des trajectoires égales.
==> Dans chacun des 2 polygones on observe ainsi dans le cas général, des paires de trajectoires égales Donc
→ Pour obtenir 4 trajectoires égales, on doit obtenir :
Une trajectoire dans (P) égale à une trajectoire dans (Q) Ce qui revient à déterminer une solution à l'équation k
m = k
m'
k
m = sin ((m+1)a)/sin(a) = km' = sin ((m'+1)a')/sin(a') (3) (avec a = pi/n et a' = pi/n')
→ Pour la recherche de solutions à cette relation (3), on peut envisager une relation simple entre a et a' Puisque n et n' n'ont pas même parité, a = a' est exclu.
→ On peut envisager le cas où n' = 2n soit a = 2a'
Ici avec n+n' = 81 , n = 27 e t n' = 54 Avec cette hypothèse, l'égalité (3) ci-dessus devient
sin((m+1)pi/n) / sin (pi/n) = sin ((m'+1)pi/2n) /sin(pi/2n) ( n = 27 ) (3') Soit, avec sin(pi/n) = 2 sin(pi/2n) cos(pi/2n)
(3') ==> sin ((m+1)pi/n) = 2 sin ((m'+1)pi/2n) x cos(pi/2n) (4)
Solution (m,m') pour l'égalité (4)
→ Tout d'abord , cette égalité admet la solution ''évidente'' :
m = m' = 0 ==> pas de fourmi ouvrière (cela correspond à la Reine ! )
ou encore, - autre solution liée au fait que des angles supplémentaires ont même sinus- : n – (m+1) = 2n – (m'+1) = 1
Alors m = n-2
m' = 2n-2 (m' = n'-2)
N.B. Cette autre solution correspondant à la dernière fourmi Xp de (P) et à la dernière fourmi Yq de (Q) Il est évident que les trajectoires de Xp et de Yq sont égales (et égales à celle de la Reine F ! )
MAIS cela ne fournit que deux trajectoires identiques de fourmis ouvrières, car les symétriques respectifs, de Xp par rapport au diamètre XO et de Yq par rapport au diamètre YO', sont la Reine elle-même (dont la
trajectoire, -unique d'ailleurs -, ne peut être comptabilisée).
→ Il reste une autre possibilité de satisfaire à (4) en procédant en 2 temps : 1-on peut réaliser sin ((m+1)pi/n) = cos(pi/2n)
par exemple si (pi/2)(1 – 1/n) = (m+1) pi/n
soit m = (n – 1)/2 – 1 et avec n = 27 ==> m = 12 , cette ouvrière est en X12 N.B. l'autre solution donnée par : si (pi/2)(1 – 1/n) = pi – (m+1)/pi/n ,
soit m = (n – 1)/2 et avec n = 27 ==> m = 13 , ouvrière en position X13 Cette position X13 est la position attendue symétrique de X12 par rapport au diamètre XO de (P) [On peut noter ici que ces deux positions font appel à la plus grande corde possible de (P) (à 27 côtés)]
2 -puis alors satisfaire (4) avec 2 sin ((m'+1)pi/2n) = 1
dont une solution est (m'+1)pi/2n = pi/6
soit m' = n/3 – 1 et avec n = 27 ==> m' = 8 , cette ouvrière est en Y8 N.B. l'autre solution (m'+1)pi/2n = pi -pi/6 conduit avec n = 27 à == > m' = 44
Y44 est bien sûr la position symétrique de Y8 par rapport au diamètre YO de (Q) (n'=54) En conclusion :
Avec p fourmis sur (P) et q fourmis sur (Q) et avec p+q = 77,
==> on peut obtenir 4 trajectoires (et 4 seulement), rigoureusement de même longueur lorsque (P) possède n = p+2 = 27 côtés soit p = 25 fourmis ouvrières sur (P) (Q) possède n' = 2n = q+2 =54 côtés soit q = 52 fourmis ouvrières sur (Q) Ces trajectoires identiques se produisent alors
pour les fourmis situées en X12 et X13 sur (P) et
pour les fourmis situées en Y8 et Y44 sur (Q) ;
lorsque la Reine en F décrit sa trajectoire (ici arc capable duquel elle voit la brindille XY sous l'angle α ) Dernière remarque : on peut noter que les transformations mises en jeu (les similitudes) pour déduire les trajectoires des ouvrières de celle de la Reine, ne préjugent en rien de la forme de la trajectoire de celle-ci.
Ici on a affaire à un arc de cercle, mais
→ une forme quelconque de trajectoire pour la Reine, allant de X fixe à Y fixe, conduit au même résultat si les polygones réguliers (P) et (Q) sont définis de la même façon.
