A4922-Des premiers en Diophantie
Soit un entier p > 0.On considère l’ensemble Ep des entiers égaux à la somme de p carrés parfaits consécutifs.
Q1 Démontrer qu’on sait trouver un nombre premier p > 2020 tel qu’il existe un élément de Ep égal à p3. Q2 Trouver le plus petit nombre premier p tel qu’il existe un élément de Ep multiple de 2020
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1 Démontrer qu’on sait trouver un nombre premier p > 2020 tel qu’il existe un élément de Ep égal à p3. Tout élément de Ep est une somme de p termes de la forme
Sp(a) = a² + (a+1)² + … + (a + (p-1))² a > 0
où a est un entier il est le premier élément d'une suite d'entiers consécutifs Avec S1 = 1² + 2² + … + (a+(p-1))² et S2 = 1² + 2² + … + (a-1)²
Sp(a) = S1 – S2
Si n est le nombre de termes d'une suite telle que S1 ou S2 la somme est n(n+1)(2n+1)/6 Donc ici
S(p,a) = { [p+(a-1)](p+a)[2p+(2a-1)] – (a-1)(a)[2(a-1)+1] } / 6
S(p,a) = { 2p3 + 3(2a-1)p² + (6a² – 6a +1)p } / 6 (1)
Remarque importante : étant donné que les sommes ci-dessus mettent en jeu des carrés d'entiers, on a pour tout entier relatif m → m² > 0 et avec cela, on vérifie directement :
==> l'expression de Sp(a) donnée par (1) est valable pour tout a entier relatif avec |a| ≠ 0
Sp(a) = p Dans ce cas3
3(2a-1)p² + (6a² – 6a +1)p = 4p3
soit 4p² – 3(2a-1)p – (6a²-6a+1) = 0 (2) Le discriminant de cette équation est
delta = 3²(2a-1)² + 4²(6a²-6a+1) et avec 4²(6a²-6a+1) = 6.4(2a-1)² – 23 delta = 33x(2a-1)² -23
→ racines rationnelles si delta = A² un carré parfait c'est-à-dire
A² – 33U² = - 23 où U = (2a – 1) (3) Les solutions pour cette égalité de Pell généralisée, nécessitent
la solution minimale (A0,U0) de l'équation simple associée → A² – 33U² = 1 → (A0,U0) = (23,4)
et au moins une solution particulière (A',U') de l'équation (3) donnée, celle-ci peut être → (A'0,U'0) = (5,1)
Alors les solutions entières de l'équation (3) forment une double suite (An, Un) En posant R = sqrt(33), les termes sont donnés par
(A'n + U'n R) = (23 + 4.R)n x (5 + 1.R)
Le développement du binôme permet d'identifier, sur la base (1 , R) , les termes An et Un au rang n → Avec cela la solution positive de l'équation (2) s'écrit p = (3Un + An) / 8
N.B. Cette solution doit être entière (et être un nombre premier!) → rang n = 0 on retrouve A'0 = 5 et U'0 = 1
rang n= 1 A1 = 247 U1 = 43 → solution p non entière
rang n = 2 A2 = 11 357 U2 = 1977 → solution p = (3x1977+11357) /8 ==> p = 2161 ce nombre entier est premier
Conclusion de Q1
Le nombre premier p = 2161, plus grand que 2020 , satisfait aux conditions imposées.
Ce qui précède montre qu'en lui associant U2 = 1977 , soit a = 1978/2 = 989 , ==> La somme Sp(989) = 989² + 990² + … + 2160² est égale à (2161)3 (Cette somme, un des éléments de E2161 , satisfait la relation demandée)
Q2 Trouver le plus petit nombre premier p tel qu’il existe un élément de Ep multiple de 2020 La relation (1) ci-dessus donne alors
p [ 2p2 + 3(2a-1)p + (6a² – 6a +1) ] = 6 k x 2020 = k 233.5.101 (4) Donc a priori, si une solution existe (a entier relatif et p premier) , p ne peut être que 2, 3, 5, 101 ou k réduit à un nombre premier (k = p0).
cas p = 2
alors (4) → [ 2p2 + 3(2a-1)p + (6a² – 6a +1) ] = k .2² .3.5.101
→ égalité impossible : modulo 2 le membre de gauche est impair cas p = 3
alors (4) → [ 2.32 + 3(2a-1)3 + (6a² – 6a +1) ] = k .23.5.101 3a² + 6a – (k.2².5.101 – 5) = 0
racines rationnelles → le discriminant Delta = 9 + 3(k.2².5.101 – 5) = 3.(k.2².5.101 – 2) = A² d'où (k.2².5.101 – 2) = 3.B² → 2 | B² → B² = 2 C² = 2.22r . D² où r ≥ 0 et D impair B² = 22r+1 .D² → impossible → Delta est irrationnel
cas p > 3
→ Pour p = 5 ou p =101
Avec l'égalité (4), on montre (de la même façon que pour p = 3) : → il n'y a pas de solution entière pour ''a''
→ Pour p = p0 = k (k réduit à un seul facteur premier p0) , La relation (4) s'écrit (après simplification p = k)
6a² + 6ap0 – (6x2020 – 2p0² +3p0 -1) = 0 (5)
Tout premier p0 > 3 est de la forme p = 6m +/- 1 p = 6m -1
L'égalité (5) s'écrit
a² + 2(3m-1)a – [2020 – (12m² – 7m + 1) ] = 0 (5') delta = 2020 – 3m² + m
Il faut delta ≥ 0 et sachant que m > 0 entier → 0 < m ≤ 25 → Un balayage sur l'entier m de 1 à 25 permet d'identifier une solution donnant delta = A² ==> m = 12 delta = 1600 A = 40
D'où
→ p = 6m – 1 = 71 nombre premier et ai = -(3m-1) +/- A → a1 = 5 a2 = -75 En conclusion du cas p = 6m – 1
Au nombre premier p = 71 est associé l'ensemble E71
Un élément de cet ensemble est par exemple celui généré avec a1=5 S71(5) = 5² + 6² + … + (5 +70)² Cet élément est tel que S71(5) = 71 x 2020
Remarque : selon la remarque faite en Q1 à propos de l'égalité (1) valable pour tout a entier relatif, → l'autre solution ci-dessus a2 = -75 est également recevable
Et donc S71(-75) = (-75)² + (-74)² + .. + (-75 + 70)² vérifie aussi S71(-75) = 71x2020
(ce qui est évident à l'écriture de ces 2 sommes)
MAIS S71(-75) n'est pas une somme d'entiers NATURELS consécutifs Si on s'en tient aux entiers naturels
==> 1 élément de E71 , S71(5) , satisfait à la relation demandée → S71(5) = 71x2020 p = 6m +1
L'égalité (5) s'écrit
a² + 6m a – [2020 – 12m² – m ) ] = 0 (5') delta' = 2020 – 3m² – m
delta' ≥ 0 et sachant que m > 0 entier → 0 < m ≤ 25
→ Un balayage sur l'entier m de 1 à 25 permet d'identifier une solution donnant delta' = A'² N.B. Ce balayage est immédiat à partir du précédent car delta' = delta -2m
Une seule valeur m fournit delta = A'² :
==> m = 21 → delta' = 676 → A' = 26
D'où p = 6m + 1 = 127 nombre premier et ai' = -3m +/-26 a'1 = -37 a2'= - 89 En conclusion du cas p = 6m+1
Au nombre premier p = 127 est associé l'ensemble E127
Un élément de cet ensemble est par exemple celui généré avec a1= -37
S127(-37) = (-37)² + (-36)² + … + (-37 +126)² Celui-ci est tel que S127(-37) = 127x2020
L'autre élément S127(-89) de E127 satisfait aussi la même relation MAIS il est clair que
S127(-37) et S127(-89) sont des sommes de carrés d'entiers RELATIFS consécutifs Conclusion de Q2
Le plus petit nombre premier répondant à la question est p = 71
Et pour s'en tenir à des sommes de carrés parfaits de nombres naturels consécutifs : → L'ensemble E71 contient l'élément S71(5) qui vérifie → S71(5) = 71x2020
