A365. Les nombres prodigieux
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit des ses chiffres non nuls égal à 12.
Q1 Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q2 Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux > 10.(**)
Q3 Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d'une telle suite.
Solution proposée par Gaston Parrour
Dans ce qui suit de façon générale n = an 10n + an-1 10n-1 + … + a1 10 + a0 (1) Pi désigne le produit des ai non nuls . Il est précisé au besoin la valeur minimale i0 de l'indice ''i'' par la notation Pi(i>i0) de ce même produit lorsque l'indice considéré commence à i0 > 0
Q1 Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0.
Le premier nombre n 2016 < n et sans 0 est n = 2111 pour lequel Pi = 2 ne divise pas n Le nombre suivant est n = 2112 que Pi(0) = 4 divise
==> le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0 est 2112 Q2 Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux > 10.
On peut noter que tout nombre est divisible par 1 Donc tout nombre n de la forme
n = 1111... , contenant éventuellement un nombre quelconque de ''0'' à partir du ''1'' à gauche, est un nombre prodigieux puisque son Pi = 1
En notant n sous la forme n = A a0 où le dernier chiffre a0 est mis en évidence et où A = est une séquence de ''1'' pouvant contenir des ''0'',
→ n1 = A 0 et n2 = A 1 sont des nombres prodigieux consécutifs
Le nombre suivant est alors n3 = A 2 nombre pair que son Pi = 2 divise Le nombre suivant est n4 = A 3 dont le Pi = 3
Pour n4 soit divisible par 3 il faut que la somme des termes dans A soit divisible par 3, Ainsi on peut choisir de façon compatible avec ce qui précède A = 111 → n4 = 1113 N.B. Il est clair que bien d'autres choix de A sont ici possibles
Avec ce choix de A :
==> A partir de n1 = 1110, les 4 entiers consécutifs n1, n1+1, n1+2, n1+3 sont prodigieux Q3 Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux.
Préliminaires
→ Dans le cas général 0 < a0 < 9 :
les nombres qui constituent des suites d'entiers consécutifs prodigieux sont nécessairement de la forme n = A a0 où A est un bloc constitué uniquement de ''1'' et de ''0''
Preuve dans le cas général a0 ≠ 0 et a0 9 de cette≠ condition nécessaire A partir de la forme de n donnée par (1) , on a
an 10n + an-1 10n-1 + ... + a1 10 + a0 = ka0Pi( i>0)) (a) an 10n + an-1 10n-1 + ... + a1 10 + (a0+1) = k'(a0+1)Pi(i>0) (b)
(b) – (a) → 1= a0(k'-k) Pi(i>0) + k' Pi(i>0) (2) L'égalité (2) montre que Pi(i>0) divise 1 or Pi(i>0) est le produit de tous les ai différents de a0 et non nuls
==> Tous les ai non nuls constituant A (qui s'arrête à a1) sont égaux à 1 → Les cas particuliers :
a0 = 0 n s'écrit en ce cas n = A1 a1 0 (ici le bloc A1 s'arrête à a2)
Alors en supposant a1 non nul on reconduit, en le décalant, le résultat précédent : → Tous les ai non nuls constituant A1 sont égaux à 1
Cela se généralise aux nombres n dont le premier chiffre non nul en partant de la droite est ap :
==> De tels nombres peuvent constituer (condition nécessaire), l'amorce d'une suite d'entiers prodigieux consécutifs si leur bloc Ap [dans la notation n = Ap ap 0000... 0 ], n'est constitué que de ''1'' et de ''0'' ==> Cela étend le résultat général précédent en incluant les cas de nombres se terminant par des 0 (RES) a0 = 9 n s'écrit A1 a1 9 et supposons a1 < 9
A partir de la forme de n donnée par (1) , on a
an 10n + an-1 10n-1 + ... + a1 10 + 9 = k9Pi(i>0) (a) an 10n + an-1 10n-1 + ... + (a1+1) 10 = k'(a1+1)Pi(i>1) (b)
(b) – (a) → 1= (k'-9k) Pi(i>0) + k' Pi(i>1) Donc Pi(i>1) divise ''1''
==> Tous les ai non nuls avec i > 1 sont égaux à ''1'' , a1 est inférieur à 9 et a0 = 9 Cela se généralise aux nombres n constitués de a0=a1=a2 = … = ap = 9 depuis la droite ;
==> Tous les ai non nuls avec i > p+1 sont égaux à ''1'' , ap+1 est inférieur à 9 (RES1) N.B. Pour ce cas particulier de nombres se terminant par des 9 à droite, on peut faire la remarque suivante : Dans la mesure où les chiffres vers la droite depuis ap jusqu'à a0 sont égaux à 9, les produits Pi sont des nombres qui font appel à des puissances de 9.
→ La divisibilité de n par de tels produits Pi demande a priori une condition spécifique sur n (outre la condition sur les ai (RES1) ci-dessus) :
condition nécessaire minimale : somme des chiffres de n divisible par 9. Cette condition est à reconduire sur les quotients successifs, dès que 9 intervient de façon multiple dans Pi
==> On peut constater très simplement sur des exemples, qu'une 'amorce' n0 d'une suite d'entiers, avec le choix n0 se terminant par 9, produit un ou deux termes successifs au mieux.
Avec les préliminaires précédents :
→ En utilisant le résultat général (noté (RES) ci-dessus), prenons comme ''amorce'' de la suite cherchée (''la plus longue possible''), un nombre n dont le dernier chiffre à droite est 0 , soit n de la forme
n = A 0
où d'après (RES), A est un bloc de la forme A = Ap ap 00000...0
Dans cette écriture Ap ne contient que des 1 et des 0 , ap est le premier chiffre non nul en partant de la droite, le nombre de ''0'' à droite dans A est a priori arbitraire.
→ Puisque Pi concerne le produit des chiffres non nuls, commençons avec le plus petit produit Pi possible : Pi = 1 , en choisissant ap = 1
Avec ce choix → A n'est formé que de 1 et de 0 et P(ai non nuls dans A) = 1 (noté P(A) ensuite) Avec cela :
n0 = A 0 Pi = P(A) =1 → Pi | n0 n1 = n0+1 = A 1 donc ici Pi = P(A) x1 → Pi | n1 n2 = n1+1 = A 2 (pair) Pi = P(A) x 2 = 2 → Pi | n2 n3 = A 3 Pi = P(A) x 3 =3
Pour que n3 soit divisible par 3, la somme de ses chiffres doit être divisible par 3 → la somme des chiffres de A doit être un multiple de 3
Ainsi avec A contenant 3 ''1'' et des ''0'' , ou 6 ''1'' et des ''0'' , etc … (cond1) → Pi | n3
n4 = A 4 Pi = P(A) x 4 = 4
Pour que n4 soit divisible par 4 il faut que ses deux dernier chiffres le soient
→ A ne peut se terminer par ap = 1 : il y a au moins un 0 à droite de A→ A est de la forme A' 0
Ainsi n4 = A' 04 et → Pi | n4 n5 = A' 05 Pi = P(A) x 5 = 5 → Pi | n5 n6 = A' 06 Pi = P(A) x 6 = 6
n6 est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et par 3
→ n6 avec (cond1) satisfaite par A' est divisible par 3, et le quotient est pair : → Pi | n6
n7 = A' 07 ici Pi = 7
Sachant que A' est constitué de ''1'' et de ''0'', on peut utiliser le fait que 1001 est divisible par 7 → En constituant A' de blocs (1001) , on est assuré que
→ Pi | n7 Pour que cela soit compatible avec (cond1), il faut 3 blocs 1001 ou 6 blocs 1001 ...
A partir de cette étape A' est noté (1001) où le nombre de blocs 1001 est un multiple de 3 (cond2) n8 = (1001) 08 Pi = 8
n8 est pair son quotient par 2 se termine par 04 et est divisible par 4 → Pi | n8 n9 = (1001) 09 Pi = 9
n9 est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est 0 modulo 9 Avec un bloc 1001, la somme des chiffres est 2 modulo 9
→ Il faut au moins 9 blocs 1001 pour obtenir une somme de chiffres égales à 18 soit 0 modulo 9 (cond3) ( Un multiple de 9 blocs 1001 (18,27, ...blocs ) fournit aussi 0 modulo 9)
alors → Pi | n9 N.B. (cond3) : 9 blocs (ou 18 ou 27) , est compatible avec (cond2)
n9, constitué de 9 blocs (1001) suivis de 09 sera noté n9 = (1001)
909 (notation analogue pour les cas de 18 blocs, 27 blocs , …)
Avec cela, en poursuivant, on obtient successivement n10 = n9+1 = (1001)
910 Pi = 1 → Pi | n10 n11 = (1001)
911 Pi = 1 → Pi | n11 n12 = (1001)
912 Pi = 2 → Pi | n12 n13 = (1001)
913 Pi = 3 → Puisque la somme des termes de n13 est égale à 22, n13 n'est pas divisible par son Pi = 3.
Ceci marque la fin de la suite d'entiers successifs Conclusion
→ A partir de la forme la plus favorable envisagée pour le premier terme n0 , n0 = A 0 , où le bloc A ne contient que des 1 et des 0, on a été conduit peu à peu à préciser A
Finalement avec le choix A = (1001)
k 0 (k = 9, 18, 27, ...)
→ on peut définir des suites d'entiers consécutifs prodigieux de longueur maximale 13 termes Exemple d'une telle suite de 13 termes (en choisissant 9 blocs 1001) :
(1001)
900 (1001)
901 (1001)
902 (1001)
903 ... (1001)
911 (1001)
912
