D2907. Un classique dans les minima
ABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle (Γ). Un point X intérieur à ce quadrilatère se projette sur les côtés AB,BC,CD et DA respectivement aux points P,Q,R et S .
Déterminer la position de X tel que le périmètre de PQRS est minimal
solution proposée par Gaston Parrour
P, Q, R, S sont les projetés orthogonaux (lignes pointillées noires) du point courant X intérieur à ABCD
ABCD inscriptible
==> ang C = PI – ang A ang D = PI – ang B
Les quadrilatères suivants avec deux angles droits opposés sont également inscriptibles PBQX (croisé) inscrit dans le cercle de diamètre XB
QCRX inscrit dans le cercle de diamètre XC RDSX inscrit dans le cercle de diamètre XD SAPX inscrit dans le cercle de diamètre XA
→ Avec cela et la relation des sinus pour un triangle inscrit dans un cercle de diamètre donné, on a : PQ / sin(PI – angB) = XB (triangle inscrit PBQ dans cercle de diamètre XB)
QR / sin(angC) = XC ( QCR XC) RS / sin(angD) = XD ( RDS XD) SP / sin(angA) = XA ( SAP XA)
Les angles supplémentaires ont même sinus et en ne conservant (par exemple) que sin(angA) et sin(angB) : → Le périmètre p de PQRS est donc donné par
p = [ (XA +XC) sin(angA) + (XB + XD) sin(angB) ] Remarque :
La donnée de la somme s des distances de X aux deux points A et C (X appartient alors à une ellipse de foyers A et C, définie par s) ne conditionne pas la somme des distances de X aux points B et D :
→ Cette donnée ne fait que définir une valeur maximale limite pour XB+XD sachant que X est dans le quadrilatère et sur l'ellipse lieu de XA+XC = s donnée
Ainsi
→ p sera minimal si le lieu de X qui rend XA+XC minimal contient un point qui rend aussi XB+XD minimal
XA + XC est minimal pour X sur la diagonale [AC]
et [AC] contient à l'intersection avec [BD] un point appartenant à [BD] où XB+XD minimal En conclusion
==> le point X0 intersection des diagonales AC et BD est l'unique point pour lequel le périmètre de PQRS est minimal
P
Q
S R A
B
C
D X
