D264. Incursion erdösienne en géométrie
On considère un quadrilatère convexe ABCD inscrit dans un cercle de rayon 2 et un point P intérieur à ce quadrilatère (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit PA.PB.PC.PD.
Pour les plus courageux:
On considère un polygone convexe de n côtés A1,A2,....,An inscrit dans un cercle de rayon n et un point Q intérieur à ce polygone (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit QA1.QA2....QAn
Source: d'après un problème proposé par Paul Erdös en 1993.
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1 Quadrilatère convexe ABCD inscrit dans un cercle de rayon 2 et un point P intérieur à ce quadrilatère (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit PA.PB.PC.PD
Préliminaire
A partir d'un quadrilatère quelconque ABCD et un point P interne à ce quadrilatère : En supposant PA + PB = C1 (une certaine constante)
→ P décrit une ellipse (E1) de foyers A et B
et PA.PB est maximum lorsque PA=PB P est alors une extrémité du petit axe de (E1) De même avec PC + PD = C2 (une autre constante)
→ P décrit une ellipse (E2) de foyers C et D
et PD.PC est maximum lorsque PC=PD P est alors une extrémité du petit axe de (E2) Pour que ces deux maximum ci-dessus se produisent en UNE seule position de P :
Les deux ellipses (E1) et (E2) doivent être tangentes (extérieurement puisque P est interne à ABCD) ET tangentes à l'extrémité de leur petit axe
Pour satisfaire cette condition il est clair que
==> deux côtés du quadrilatère, ici AB et CD, sont parallèles Le trapèze ABCD étant inscriptible est isocèle
→ Ainsi les points le long de la médiane O1O2 relative aux côtés parallèles AB et CD sont candidats pour préciser la borne supérieure du produit PA.PB.PC.PD La figure ci-dessous précise cela
Notations :
O centre du cercle circonscrit de rayon R O1 milieu de AB O2 milieu de CD OO1 = h1 OO2 = h2
O1O2 médiane de longueur h = h1+h2 AO1 = a DO2 = c (a < c) P point courant sur la médiane avec PO2 = m
M → intersection médiatrice de CD
grand arc CD sur le cercle
Expression de P = PA.PB.PC.PD lorsque la position du point P sur la médiane O1O2 est définie par PO2 = m PA=PB → PA.PB = a² + (h-m)²
PC=PD → PC.PD = c² + m²
P = (c²+m²)( a²+(h-m)² ) (1) Donc
pour m = 0 (P est en O2 milieu de CD) P0 = c²(a²+h²) = c²a² + c²h² pour m = h (P est en O1 milieu de AB) Ph = (c²+h²)a² = c²a² + a²h² ==> P0 > Ph
A partir de cela, partant de P0 qui dépend de 2 variables (a et c, ou autre couple de variables équivalent) :
A B
D C
h1
h2 O a
c
a
c P
O2 O1 M
Recherche du maximum de P0 (le point P est maintenant en O2 au milieu de CD) : 1- en fonction de a (à c fixé )
→ Géométriquement il est évident que P0 est alors maximum dans ce cas, lorsque a tend vers 0 : soit donc PA = PB =O2M = R + h2 (i.e. limite de h = h1+h2, lorsque h1 → R) N.B. La dérivée partielle de P0 par rapport à a (à c fixé) , conduit bien sûr à ce résultat
On obtient ainsi une première limite supérieure (P0)max de P0 ci-dessus (pour a → 0) : (P0)max = c²(R+h2)² = (R² – h2²) (R+h2)²
(P0)max = (R – h2) (R+h2)3 (2)
N.B. Ici (P0)max est exprimé en fonction de h2, on fait donc le choix de la seconde variable h2 plutôt que de la variable c= (R² – h2²)1/2 qui lui est directement liée
2 – comportement de (P0)max en fonction de h2
Avec la relation (2) la dérivée de P0 ' de (P0)max par rapport à h2 est
P0 ' = 3(R-h2) (R+h2)² - (R+h2)3 = (R+h2)² (2R – 4h2) → P0 ' = 0 pour h2 = R/2
En ce point (P0)max est maximum car en h2 = 0 P0 '(0) = (R)² 2R > 0 et en h2 = R P0 '(R) = (2R)² (-2R) < 0
==> Le maximum (P0)Max de (P0)max est donc, à partir de (2) ci-dessus et avec h2 = R/2 : (P0)Max = (R – R/2) (R + R/2)3 = R/2 x (3R/2)3 = 33 (R/2)4 (3)
Application numérique R = 2 → borne supérieure du produit (P interne au quadrilatère, frontière permise) est ==> (P0)Max = 27
Q2 Polygone convexe de n côtés A1,A2,....,An inscrit dans un cercle de rayon n et un point Q intérieur à ce polygone (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit QA1.QA2....QAn
Concernant la borne supérieure du produit P = QA1.QA2....QAn , ce qui a été remarqué en début de la question Q1 peut être reconduit ici :
→ La limite supérieure du produit peut être appréhendée à partir d'un polygone (inscrit) où O2 est le milieu d'un côté, par exemple A1A2, et les autres sommets sont aussi proches de M qu'on le veut (M à l'intersection de la médiatrice de A1A2 et du grand arc A1A2 du cercle circonscrit)
En conservant des notations analogues à celles de Q1 :
h2 désigne la distance OO2 du centre O à A1A2 et le point Q est choisi en O2, on obtient alors une expression limite pour (P0)max qui constitue une borne supérieure pour h2 donné
→ (P0)max = c²(R+h2)(n-2) (
où A1O2 = O2A2 = c et QA3=QA4 = … = QAn = O2M = R+h2 Avec c² = R² – h2² on est conduit à rechercher le maximum de
(P0)max = (R – h2) (R+h2)(n-1) La dérivée de (P0)max par rapport à h2 est
P0 ' = (n-1)(R – h2) (R+h2)(n-2) – (R+h2)(n-1) = (R+h2)(n-2) [(n-1)(R – h2) – (R+h2) ] Cette dérivée s'annule pour
h2 = (n-2)R / n
Comme dans la question Q1, on vérifie (très simplement) que pour cette valeur on a affaire à un maximum (P0)Max de (P0)max . Il constitue donc la borne supérieure cherchée :
(P0)Max = R (1 – (n-2)/n) R(n-1) (1 + (n-2)/n)(n-1) = Rn ( 2/n) ( 2(n-1)/n )(n-1)
En conclusion
La borne supérieure du produit QA1.QA2....QAn pour tout polygone inscrit A1A2 … An de n côtés, lorsque le point Q est interne au polygone (frontière comprise), est
(P0)Max = (2R / n)n (n – 1)(n-1) Pour un rayon R = n cela conduit à
(P0)Max = (2)n (n – 1)(n-1)
Remarque avec R = 2 et un quadrilatère (n=4), on retrouve bien sûr le résultat de Q1 → (P0)Max = 33
