Incursion erdösienne en géométrie
Problème D264 de Diophante
On considère un quadrilatère convexe ABCD inscrit dans un cercle de rayon 2 et un point P intérieur à ce quadrilatère (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit PA*PB*PC*PD .
Pour les plus courageux : on considère un polygone convexe de n côtés A1, A2, A3, … , An inscrit dans un cercle de rayon n et un point Q intérieur à ce polygone (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit QA1*QA*QA3* … *QAn .
Source: d'après un problème proposé par Paul Erdös en 1993.
Solution
Ci-dessus les points A et B sont infiniment proches et forment avec C et D un triangle équilatéral de hauteur 3.
Le produit PA*PB*PC*PD vaut 3*3*√3*√3 = 27
Je suis arrivé à ce résultat en mettant en évidence le point P, par un petit
programme en Python, où un point M parcourt le quadrilatère comme barycentre de I et J (M = (1-x)*I + x*J), eux-mêmes étant barycentres de AB (I = (1-y)*A + y*B) et DC (J = (1-y)*D + y*C), avec 0 ≤ x,y ≤ 1 .
Ceci étant, en notant w l’angle COP = POD et conservant A et B à leur place, le produit PA*PB*PC*PD vaut 16*(1+ cos(w))*(1+ cos(w))*sin(w)*sin(w), dont le maximum est atteint pour w = π/3.
C’est avec émotion, que je pense à Paul Erdös, que j’ai rencontré de son vivant.
