Q1 Déterminer la valeur de l’angleDC E

D1876. Un nouveau venu dans une ancienne saga ***

Dans un cercle (Γ) de rayonr, on trace une cordeABde longueur>r puis un pointPsur cette corde tel que AP=r. Soit le pointCsur (Γ) tel queC P=B P. La médiatrice deB P coupe (Γ) en deux pointsDetE. Q1 Déterminer la valeur de l’angleDC E.

Q2 Démontrer quePest le centre du cercle inscrit au triangleC DE.

Nota : après avoir résoluQ1, les lecteurs de diophante.fr feront aisément le rapprochement avec une saga maintes fois évoquée dans le site.

Solution de Claude Felloneau

(Γ) O

A

B (γ)

P C

D

E

F G

A⁰

(γ⁰)

Q1 L’angleDC E mesure 60˚.

P appartient au cercle (γ) de centre A de rayonr qui coupe (Γ), de centreO, en deux pointsF etG. Les trianglesAOFetAOGétant équilatéraux,F OG =120˚.

CommeOB=OC=retP B=PC, la droiteOPest la médiatrice deBC.

La symétrie axialesd’axeOP transformeBenCetP enP doncs(DE) est la médiatrice dePC et la droite C Precoupe le cercle (Γ) enA⁰=s(A).

On aAO=AP=r etO A⁰=OP=r donc AO A⁰P est un losange et les droitesO AetPC sont parallèles. La médiatriceF GdeO Aest donc aussi la médiatrice dePC. Ainsis(DE)=(F G). De plus,s(Γ)=(Γ) doncs(D) ets(E) sont les points d’intersection de la droiteF Gavec (Γ). Quitte à inverserFetG, on peut supposer que F=s(D) etG=s(E).

Le théorème de l’angle inscrit donneDC E =1

2DOE =1

2F OG =60˚.

Q₂ Pest le centre du cercle inscrit dans le triangleC DE. En effet, soitI le centre du cercle inscrit dansC DE.

Aest le milieu de l’arcF Gdu cercle (γ) donc , par la symétries,A⁰est le milieu de l’arcDEdu cercle (Γ).

CommeC∈(Γ), la droiteC A⁰est la bissectrice de l’angleDC E. Ainsi Iappartient à la droiteC A⁰. De plus,Iétant sur les deux autres bissectrices, on a moduloπ,

(I E,I D) = −1

2(EC,E D)−1

2(DE,DC)= −1

2(π−(C D,C E))= π 2 +1

2(C D,C E) = π 2 +π

6 = 2π

3 =(OG,OF)= (OE,OD) par la symétries. Les pointsE,I,P,Dsont donc cocycliques.

Iest donc à l’intersection de la droiteC A⁰et du cercle (γ⁰)=s(γ). Ce qui prouve queI=P.

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