Enoncé D1890 (Diophante) De symétrie en symétrie On trace une corde

Enoncé D1890 (Diophante) De symétrie en symétrie

On trace une corde BC dans un cercle (Γ) de centre O. A est un point courant de (Γ).

Quand A parcourt le cercle (Γ) :

1- déterminer respectivement les lieux des symétriques du centre de gravité Gdu triangleABC par rapport aux droites [AB],[AC] et [BC] et démon- trer que ces trois lieux se rencontrent en un même point si et seulement si du centre de (Γ) la corde BC est vue sous un angle de 120°.

2- déterminer respectivement les lieux du point P symétrique de O par rapport à la bissectrice intérieure de l’angleBAC, du pointQsymétrique de P par rapport à la droite [AB] et du point R symétrique de Q par rapport à la droite [AC].

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

La configuration de départ est déjà utilisée dans le problème D10567. Je prends le rayon de (Γ) pour unité de longueur.

Question 1

Soit M le milieu de BC et g le centre de gravité du triangle fixe OBC (M g =M O/3). Vectoriellement, M G =M A/3 entraîne gG= OA/3 ; le lieu deG est le cercle de centre g et de rayon 1/3 ; le lieu du symétrique Ga de G par rapport à [BC] est le cercle de même rayon 1/3 centré au symétriqueg⁰ de g :Og⁰ = (4/3)OM.

SoitM⁰le symétrique deM par rapport à [AB] etA₁ le quatrième sommet du losangeBOAA1 (OAB étant isocèle).

Le triangleBM⁰A₁ est symétrique du triangleBM O par rapport à [AB].

Le symétriqueG_cde Gpar rapport à [AB] est défini parM⁰G_c=M⁰A/3, d’oùBGc=BM⁰+M⁰A/3 = 2BM⁰/3 +BO/3 +OA/3 =

2BM⁰/3 +BA₁/3 +BO/3.

Soit B₁ tel que vectoriellement BB₁ = BO/3, et M₁ tel que M⁰M₁ = M⁰A1/3 ; alors B1Gc = BM1, vecteur d’orientation variant avec A mais de longueur constante =Bg, car dans la symétrie des trianglesBM⁰A₁ et BM O, Bg correspond àBM₁. Le lieu de G_c est donc un cercle de centre B1 et de rayon Bg.

Le lieu du symétriqueG_b de G par rapport à [AC] s’obtient de la même façon et est symétrique du lieu deG_cpar rapport à la médiatrice deBC : centre C1 tel que CC1 =CO/3, même rayon. Le point g est le milieu de B₁C₁,B₁g=gC₁= (2/3) sin(AB, AC), et les deux cercles se coupent sur la médiatrice deBC, de part et d’autre deg, à la distance^pBg²−B₁g² = (1/3)^q1 + 4 sin²(AB, AC).

Le lieu de G_a coupe cette médiatrice en deux points dont les distances à gsont gg⁰±1/3 = (2 cos(AB, AC)±1)/3.

Pour qu’il y ait un point commun aux trois cercles, il faut 0 = 1 + 4 sin²(AB, AC)−(2 cos(AB, AC)±1)² =

(9−(1±4 cos(AB, AC))²)/2.

Alors cos(AB, AC) = (±3±1)/4, les seules valeurs à retenir sont ±1/2, l’angle (AB, AC) est 60° ou 120°, la corde BC étant vue de O sous un angle 120° dans les deux cas, qui correspondent à l’appartenance deAaux deux arcs déterminés parB etC sur (Γ).

Question 2 Lieu de P

La bissectrice intérieure de l’angleBACpasse par l’un ou l’autre des points d’intersection de (Γ) avec la médiatrice de BC, celui qui est séparé de A par BC.

Si A est sur le “grand” arc BC, la bissectrice passe par le milieu J du

“petit” arc BC, à distance 1 de O et de P. Ainsi P parcourt un arc bBOCcdu cercle de centreJ et de rayon 1, oùb(resp.c) est le 4e sommet du losangeBOJ b (resp.COJ c).

Si maintenantAest sur le “petit” arcBC, la bissectrice passe par le milieu J⁰ du “grand” arcBC, etP décrit un arcb⁰Oc⁰ du cercle de centreJ⁰ et de rayon 1, oùb⁰(resp.c⁰) est le 4e sommet du losangeBOJ⁰b⁰(resp.COJ⁰c⁰).

Les deux arcs sont tangents en O. Lieu de Q

OAP J (ouOA1P J⁰) est aussi un losange, AP est perpendiculaire à BC, d’où (AB, AP) =π/2−(BC, BA) = (AQ, AB) = (AO, AC).

Alors (AQ, AO) = (AB, AC) fixe ; AQ recoupe (Γ) en Q⁰ avec OAQ⁰ isocèle, (OA, OQ⁰) =π−2(AB, AC).

AQ⁰= 2 cos(AB, AC),O se projette surAQ au milieu deAQ⁰, et OQ² = sin²(AB, AC) + (1−cos(AB, AC))²= 2−2 cos(AB, AC),

OQ = 2 sin((AB, AC)/2) constant : le lieu de Q est formé de deux arcs de cercle de centre O. En effet, quand le point A traverse la droite BC et vient en A₁, l’angle (AB, AC)/2 est remplacé par son complémentaire (A1C, A1B)/2.

Lieu de R

On a (AO, AR) = (AO, AC) + (AC, AR) = (AO, AC) + (AQ, AC) = 2(AO, AC) + (AQ, AO) = (AO, OC) + (AB, AC).

Alors (OC, AR) = (AB, AC) fixe. Le vecteur AR de longueur 1 comme AQ, AP, AO a une direction fixe. On passe de A à R par la translation correspondante, et le lieu de R fait partie du cercle transformé de (Γ) par cette translation.

Mais l’égalité angulaire n’est vraie qu’àπ près. Quand le pointA traverse la droiteBC et vient enA1, la direction du vecteurARs’inverse, comme on le voit enA₁R₁.

Le lieu deR est formé, comme celui deP, de deux arcs de cercle de rayon 1 (celui de (Γ)).