D1854- A la recherche d'une jolie preuve Problème proposé par Jean-Louis Aymé
Dans un triangle ABC, la bissectrice intérieure de l'angle en A coupe le côté BC au point D. Les deux tangentes communes aux cercles circonscrits aux triangles ABD et ACD coupent respectivement la droite (AD) aux points P et Q. Démontrer que AB.AC= PQ2.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
N.B. Le grand cercle ainsi que les 3 points I , G et H ont servi uniquement à la construction des 2 tangentes communes.
A) L'homothétie de centre O .
Tout d'abords , les deux cercles circonscrits se coupant en A et D , la droite (AD) est l'axe radical de ces 2 cercles de rayons r et R.
Il s'en suit : r/R = AB/AC = BD/DC .
En effet : d'une part les angles égaux BAD et DAC inscrits respectivement dans les cercles (E , r) et (F , R) interceptent des arcs
semblables . Ces arcs sont donc sous-tendus par les cordes BD et DC de longueurs proportionnelles à r et R . D'autre part , les angles ADB et ADC sont supplémentaires , donc les angles ADB et AHC sont égaux . Ils interceptent donc respectivement des arcs semblables sous-tendus par les cordes AB et AC proportionnelles , elles aussi , aux deux rayons r et R.
Maintenant , les points B , D et C étant alignés , la corde DC est donc obtenue aussi par homothétie de centre O et de rapport R/r de la corde BD . La droite (BC) passe bien en O.
De même , les 3 points D,C,M sont respectivement les homothétiques des points B,D,L par cette même homothétie de centre O
et de rapport R/r . Par conséquent les segments LD et MC d'une part , puis les segments BL et DM d'autre part sont parallèles.
Les 4 triangles OBL , ODM , OLD et OMC sont semblables puisque sur le petit cercle (E, r) les 2 angles inscrits ODL et BLO interceptent
le même arc BL .
On en déduit la proportion : BD/LM = LM/DC ====> BD x DC = LM² (1).
B) Une formule avec la médiane .
Considérons le triangle ABC . AD est la bissectrice . Si S est le second point d'intersection ( avec A) de la droite (AD) avec le cercle
circonscrit au triangle ABC , alors par construction , les 3 triangles ABD , ASC et CSD sont semblables . Et il s'en suit :
1) AB/AS = AD/AC ---> AS x AD = AB x AC ---> (AD + DS) x AD = AB x AC = AD² + AD x DS (2).
2) BD/SD = AD/DC ---> BD x DC = AD x SD (3)
Avec (2) et (3) on en déduit : AB x AC = AD² + BD x DC (4).
C) Puissance des points P et Q .
Ces 2 points appartenant à l'axe radical (AD) ont mêmes puissances (p) par rapport aux deux cercles (E , r)
& (F , R) .
Alors : PJ² = PK² = QL² = QM² = p . ----> JK² = LM² = 4p .
Posons PA = DQ = y et AD = x ; alors PQ = x + 2 y et PQ² = (x + 2y)² = x² + 4xy + 4y² = x² + 4y.(x + y) = x² + 4p puisque
y.(x + y) = PA x PD = PJ² est la puissance p du point P par rapport au cercle (E , r) dans ce cas . Alors : 4y.(x + y) = 4p = LM² = JK² puisque LM = JK = 2PJ = 2PK = 2QL = 2QM ;
et PQ² = x² + LM² ----> PQ² = AD² + LM² (5) Conclusion : les 3 équations (1) , (4) & (5) :
BD x DC = LM² (1).
AB x AC = AD² + BD x DC (4).
PQ² = AD² + LM² (5) conduisent à l'égalité: PQ² = AD² + BD x DC = AB x AC.
