D123 Les Oculaires.
On trace deux cercles (Ca) et (Cb) de centres A et B, de rayons distincts et extérieurs l'un à l'autre.
Le cercle de diamètre AB coupe le cercle (Cb) aux points C et D et le cercle (Ca) aux points E et F.
Les droites AC et AD coupent le cercle (Ca) en M et N tandis que les droites BE et BF coupent le cercle (Cb) en P et Q.
Démontrer que les deux segments (oculaires) MN et PQ sont égaux entre eux quelle que soit la dimension des rayons des cercles (Ca) et (Cb).
Autre solution :
Soient R et r les rayons des cercles (Ca) et (Cb). Par homothétie, MN=CD.R/AC.
L'aire du triangle rectangle ACB s'écrit de deux façons : AC.r/2 = AB.CD/4 donc CD=2.AC.r/AB.
Donc MN= [2.AC.r/AB].(R/AC) . D'où MN = 2.r.R/AB.
Cette expression est invariante par l'échange de r et R donc PQ=MN= 2.r.R/AB.
