D1854. A la recherche d’une jolie preuve
La bissectrice ext´erieure enAcoupeBC enE.
F,G,H et Ksont les milieux respectifs deDE,DB,DC etAD.
Γ1etΓ2sont les cercles circonscrits `aABDet ADC.
Γ0est le cercle centr´e sur la m´ediatriceF K deAD et passant parGet H.
J, sym´etrique deGpar rapport `aF K, appartient aussi `a Γ0.
(B, C, E, D) est une division harmonique, donc F D2 = F B × F C, ou F D
F B = F C F D.
F est le centre d’une homoth´etie qui transformeΓ1enΓ2; c’est aussi l’intersection de leurs tangentes communes taet tb.
F H
F G = F D+F C
F B+F D = F D F B
F est aussi le centre d’une homoth´etie qui transformeΓ1enΓ0, etΓ0 enΓ2 : Γ0est aussi tangent `a taet tb.
(F, D, G, H) est une division harmonique, donc AD est la polaire de F par rapport `aΓ0, etP etQsont les points de contact deΓ0avectaet tb. Enfin,J,K etH sont align´es puisqueADest la bissectrice de KGetKH. Puissance de Kpar rapport `a Γ0: KH ×KJ =KP ×KQ, d’o`u
AB×AC = P Q2
1
2