Enoncé D1854 (Diophante) A la recherche d’une jolie preuve
Dans un triangle ABC, la bissectrice intérieure de l’angle en A coupe le côtéBCau pointD. Les deux tangentes communes aux cercles circonscrits aux triangles ABD et ACD coupent respectivement la droite (AD) aux points P etQ. Démontrer que AB.AC=P Q2.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je noteBC=a, CA=b, AB=cles longueurs des côtés du triangleABC, AD=d, etA, B, C, D les angles BAC,CBA,ACB,ADB.
Le cercle (ABD) de centreJ a pour rayonr, le cercle (ACD) de centreK a pour rayons. La droite (J K) est médiatrice du segmentADet bissectrice des angles AJ D et AKD. Ainsi 6 KJ A = B, 6 J KA = C, et le triangle AJ K est semblable au triangleABC. Le rapport de similitude est c/r=b/s= 2 sinD dans les cercles (ABD) et (ACD).
Soit 2u l’angle des tangentes communes ; il est le même dans la figure semblable formée par les cercles (B, c) et (C, b), ce qui permet d’écrire directement sinu=|b−c|/a.
Puisa2cos2u=a2−(b−c)2 = 2bc(1−cosA) par Al-Kashi, d’où acosu= 2
√
bcsinA 2.
Par projection de la polygonaleBACsur la bissectrice extérieure de l’angle A
(b+c) sinA
2 =asinD, d’où (b+c) cosu= 2√
bcsinD.
Les 4 points de contact des tangentes communes forment un trapèze iso- cèle, de bases 2rcosu et 2scosu;P etQétant sur l’axe radical (AD) des deux cercles, ce sont (par l’égalité des puissances) les milieux des côtés du trapèze, d’où
P Q= (r+s) cosu= (b+c) cosu/(2 sinD) =√
bc, CQFD.
