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Exercice F3
Les parties A et B sont indépendantes.
Un artisan fabrique des objets et vend toute sa production. On appelle C(x) le coût total de fabrication et R(x) la recette totale exprimée en fonction du nombre x d’objets fabriqués. C(x) et R(x) sont exprimés en euros.
PARTIE A
Dans cette partie la fonction R et la fonction C sont représentées respectivement par la droite (
∆) et la courbe (
Γ) données en annexe (figure 1).
1°) Quelle est la recette obtenue pour la vente de 30 objets ? 2°) Quel est le prix de vente d’un objet ?
3°)Quel est le coût total de fabrication de 30 objets ?
4°) Pour quelles valeurs de x l’entreprise est-elle déficitaire ?
PARTIE B
Dans cette partie, le prix de vente d’un objet varie suivant la quantité x produite et s’exprime, en euros, par la relation : p(x) = 120 - x, où x appartient à l’intervalle [0 ; 60].
1°) Déterminer en fonction de la quantité x produite, le montant de la recette totale R(x).
2°) Le coût total de production de x objets, exprimé en euros, est : C(x) = -0,5x
2+ 70x + 450 . Démontrer que le bénéfice total, exprimé en euros, obtenu pour la vente de x objets est : B(x) = -0,5x
2+ 50x - 450
3°) a) Déterminer la dérivée B' de la fonction B, et dresser le tableau de variations de B sur [0 ; 60].
En déduire le nombre d’objets qu’il faut vendre pour obtenir le bénéfice maximal.
b) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’entreprise est déficitaire.
4°) Soit g(x) = B( x)
x le bénéfice moyen pour la vente de x objets.
Calculer g'(x) et vérifier que g'(x) = ( 30 - x)(30 + x) 2x
2.
En déduire le tableau des variations de g sur l’intervalle [10 ; 60].
5°) Recopier et compléter le tableau suivant puis tracer la courbe du bénéfice moyen dans le repère orthogonal donné en annexe (figure 2) :
x 15 20 25 35 40 45 50 55 g(x)
6°) Le bénéfice maximal moyen correspond-il au bénéfice maximal ? Quelle production conseilleriez-vous à
cet artisan ? Argumenter.
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