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D1876. Un nouveau venu dans une ancienne saga

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Academic year: 2022

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D1876. Un nouveau venu dans une ancienne saga

SoientOle centre de Γ, etF un point fixe sur Γ.

On choisitAB parall`ele `aOF et −→

AP =−→

OF

OAP F est un parall´elogramme ⇒ P d´ecrit le cercleΓ0centr´e enF et de rayonr quandAd´ecritΓ.

OF Det OF Esont ´equilat´eraux, doncDP F\ =F P E\ = π 3. DOE\ = DP E\ = 2π

3 ⇒ DCE\ = π 3 P appartient `a la bissectrice deDCE\

DP et EP recoupentΓ respectivement enD0 et E0 : DE0P et ED0P sont

´

equilat´eraux, et sym´etriques par rapport `aOP, m´ediatrice deAF (`a cause de l’´egalit´e des arcs DO et OE sur Γ0). OP est donc axe de sym´etrie pour les couples de points :

Aet F, C etB, E0et D, D0 etE.

Par sym´etrie par rapport `aDE : arc(P E/Γ0) = arc(EB/Γ),

donc surΓ: arc(BE) = arc(ED0) = arc(D0C) DP est bissectrice deEDC\ et arc(CE0) = arc(E0D0) = arc(DB) EP est bissectrice deCED\ P est bien le centre du cercle inscrit dansCDE.

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