PROBLÈME D1876 1 Diophante
VISION
Figure :
A P B
C
E
D 0
M
Traits : 0 un cercle, r le rayon de 0,
[AB] une corde de 0 tel que r < AB, P un point de [AB] tel que AP = r, C le point de 0 tel que CP = BP, M la médiatrice de [BP]
et D, E les points d'intersection de L avec 0.
Donné : évaluer <DCE.
VISUALISATION
A B
O
P
C
E
D
0
1 M
• Notons O le centre de 0.
• Une chasse angulaire :
1 D1876, Diophante, site de Fondanaiche P. (octobre 2020) ;
http://www.diophante.fr/problemes-du-mois/4845-d1876-un-nouveau-venu-dans-une-ancienne-saga
2
2
* par ''Angles au centre et inscrit'', <AOC = 2.<ABC
* par une autre écriture, 2.<ABC = 2.<PBC
* le triangle PBC étant P-isocèle, 2.<PBC = <APC
* par transitivité de =, <AOC = <APC.
• Conclusion partielle : O, A, C et P sont cocycliques.
• Notons 1 ce cercle.
Commentaire : ce résultat permet de construire le point C.
A B
O
P
C
E
D
0
1 M
• D'après ''Le théorème de la médiatrice'', (OP) est la médiatrice de [BC].
A B
O
P
C
E
D 0
1 M
Q
R
• Notons Q le point d'intersection de (OC) et (AP), et R le point d'intersection de (OP) et M.
• Le quadrilatère cyclique OACP ayant ses deux diagonales égales est isocèle.
• Scolies : (1) R est le centre du cercle circonscrit à PBC
3
3 (2) (QR) est l'axe de symétrie de OACP.
• Conclusion partielle : A, C et R sont alignés.
A B
O
P
C
E
D 0
1 M
Q
R
O2
2
• Une chasse de puissance :
* par rapport à 1, RP.RO = RC.RA
* par rapport à 0, RC.RA = RD.RE
* par transitivité de =, RP.RO = RD.RE.
* d'après Karl Feuerbach, O, P, D et E sont cocycliques.
• Notons 2 ce cercle et O2 le centre de 2.
• M étant * la corde commune de 0 et 2
* la médiatrice de [BP],
M est l'axe de symétrie de 0 et 2 ;
en conséquence, 0 passe par O2 et O2 est la milieu de l'arc DE de 0 ne contenant pas A.
• Scolie : 2 est le C-cercle de Mention de CDE
4
4
A B
O
P C
E
D 0
M
O2
2
• Le triangle AOO2 étant équilatéral, <DOE = 120°.
• Conclusion : par ''Angles au centre et inscrit'', <DCE = 60°.
Scolie : P est le centre du cercle inscrit à CDE
A B
O
P C
E
D 0
M
O2
2
• Une chasse angulaire :
* le quadrilatère OPBO2 étant un trapèze isocèle, <BPO2 = <OBP
* par une autre écriture, <OBP = <OBA
* la triangle OAB étant O-isocèle, <OBA = <BAO
* par une autre écriture, <BAO = <PAO
* par ''Angles alterne-interne'', <PAO = <APC
* par transitivité de =, <BPO2 = <APC
* en conséquence, C, P et O2 sont alignés.
• Conclusion : 2 étant le C-cercle de Mention de CDE, P est le centre du cercle inscrit à CDE.
