Dans un cercle (Γ) de rayon r, on trace une corde AB de longueur > r puis un point P sur cette corde tel que AP = r. Soit le point C sur (Γ) tel que CP = BP. La médiatrice de BP coupe (Γ) en deux points D et E.
Q₁ Déterminer la valeur de l’angle DCE
Q₂ Démontrer que P est le centre du cercle inscrit au triangle CDE.
Nota : après avoir résolu Q₁, les lecteurs de diophante.fr feront aisément le rapprochement avec une saga maintes fois évoquée dans le site.
Q1 : Puisque la médiatrice de AB passe par le centre O du cercle, et que AP=r, la
médiatrice de PB est à distance r/2 de O : O voit donc le segment DE sous un angle de 2π/3, et C le voit sous un angle de π/3 soit 60°.
Q2 : Orientons le cercle (Γ) à partir d’un axe parallèle à AB, et soit θ l’angle polaire du point B ; la direction OP fait un angle de (π-θ)/2, C est symétrique de B par rapport à OP, donc l’angle polaire de C est π-2θ. Soient F et G les milieux des arcs EC et CF : ils ont donc respectivement pour angles polaires 2π/3-θ et 4π/3-θ, et FG est symétrique de DE par rapport à OP. DEGF est un trapèze isocèle, et l’angle des diagonales EF et DG est de 2π/3, qui est celui sous lequel B, donc P voient DE : ces diagonales se coupent donc en P, et puisque ce sont les bissectrices des angles D et E du triangle CDE, P est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.
