D2918. Enveloppons le limaçon MB Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soit le segment AB et le point C sur la médiatrice de AB. On trace le cercle Γ de centre C et de rayon r ≤ CA.
La médiatrice de AC coupe en O la parallèle à AB menée de C. On trace le cercle Γ' de centre O et de rayon OA. Q est le point courant sur Γ'.
Q1 : Démontrer que le lieu des intersections de QA avec les tangentes à Γ parallèles à QC est un limaçon de Pascal.
Q2: Démontrer que le limaçon est bi-tangent au cercle Γ. Lieu des points de contact quand le rayon de Γ varie.
Q3 :Démontrer qu'en tout point Q de Γ', il existe un cercle de centre Q bi-tangent au limaçon. Lieu du point équivalent au point B (i.e. symétrique de A par rapport à la tangente en Q).
Q1) Sur le cercle (Γ') les points A et C sont fixes, l'angle inscrit (QA,QC) est constant. Si U et V sont les points d' intersections de QA avec les tangentes à Γ parallèles à QC, les longueurs QU et QV sont constantes car égales à r/sin(QA,QC). Le lieu de U et V est une conchoïde de cercle, c'est un Limaçon de Pascal dont A est le point double.
Q2)
Les points U et V sont généralement extérieurs au cercle (Γ).
Si UC est perpendiculaire à QuC, le point U est un point de contact du limaçon et du cercle (Γ) L'angle (QuC,QuA) est constant. Le triangle rectangle QuCU est alors de forme invariable.
U est l'image de Qu dans la similitude directe de centre C d'angle -90°, et de rapport tan(CQuU).
De même le point de contact V est l'image de Qv dans la même similitude directe de centre C.
Le limaçon est bien bitangent au cercle Γ. Les points de contact sont situés sur le cercle Ω déduit de Γ ' par cette similitude.
Le centre du cercle Ω est l'intersection de la tangente en C à Γ ' et de l'axe Oy.
Le lieu des 2 points de contact, lorsque r varie, est l'arc du cercle Ω intérieur au cercle de centre C et de rayon CA.
Q3) Etude de la famille de cercles bitangents au limaçon d'équation polaire ρ = a.cos θ + b, d'équation cartésienne (x²+y² – ax)² – b²(x²+y²) = 0.
Le cercle Γ' a pour équations ρ = a.cos θ ou x²+y² – ax = 0.
Dans l'inversion de centre A de puissance 1, l'image du limaçon est la conique d'équation : (1 – ax)² – b²(x²+y²) = 0 ou x²(a² – b²) – 2ax – b²y² + 1 = 0 (*)
Un axe de symétrie de cette conique : x = a/(a² – b²)
Un cercle centré sur cet axe : (x²+y²)(a² – b²) – 2ax – 2my + n = 0 (**)
Les ordonnées des points où ce cercle coupe cette conique vérifient (**) - (*) = 0 :
a²y² – 2my + n – 1 = 0 , le cercle est bitangent à la conique si le discriminant m² – a²(n-1) est nul . L'équation d'un tel cercle est (x²+y²)(a² – b²) – 2ax – 2my + 1 + (m/a)² = 0
Son inverse est bitangent au limaçon et a pour équation :
(a² – b²) – 2ax – 2my + (1 + (m/a)²)(x²+y²) = 0 , le centre de ce nouveau cercle a les coordonnées x= a
(1+(m a)
2
)
, y= m
(1+(m a)
2
)
ou x = a3/(a²+m²), y = a²m/(a²+m²).
Ces coordonnées vérifient l'équation x²+y² – ax = 0 qui est celle du cercle Γ' . Tout point du cercle Γ' est centre d'un cercle Γ bitangent au limaçon.
L'ensemble des symétriques du point A par rapport aux tangentes au cercle Γ' est la cardioïde d'équation ρ = a(1 + cos θ), d'équation cartésienne (x²+y² – ax)² = a²(x²+y²)
