M´ ethodes math´ ematiques pour la physique (examen du 19/06/2008)
1. Estimer la valeur de l’int´egrale Z Z Z
x2+y2+z2≤4
dx dy dz
1000 +x+y+z `a 5% pr`es.
2. On consid`ere une plaque homog`ene dont le bord dans le planxy est d´etermin´e par les ´equations y=x2+ax, y= 2x2−2a2, a >0.
La plaque est charg´ee uniformement avec la densit´e surfacique σ. Calculer la charge totale de la plaque.
3. Calculer l’int´egrale curviligne Z
γ
x dx+ydy+ (x+y−1)dz, o`u γ est le segment qui relie (1,1,1) `a (2,3,4).
4. Calculer l’int´egrale
Z Z
S
x3dy dz+y3dx dz+z3dx dy,
o`u S est la surface de la sph`erex2+y2+z2 =R2.
(Indication: on pourra utiliser le th´eor`eme de flux-divergence).
5. • D´eterminer l’ordre du pˆole de la fonctionf(z) = 1
sinz−sinhz en z= 0. Calculer le r´esidu de f(z) en z= 0.
• En utilisant la m´ethode de r´esidus, calculer l’int´egrale Z ∞
0
dx
(x2+a2)(x2+b2), a, b >0, a26=b2.
