L3 SM UE504P Universit´ e de Tours Ann´ ee 2010-2011
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
02/11/2010 dur´ ee du contrˆ ole: 2h
Exercice 1. Consid´erons la fonction f(x) = |x+ 2| − |x|. Calculer df
dx et d2f
dx2 au sens des distributions (c’est-`a-dire, trouver (Tf)0 et (Tf)00).
Exercice 2. Consid´erons la fonction f(x) de p´eriode 2 d´efinie par f(x) = 1− |x| pour −1< x≤1.
1. D´evelopper cette fonction en s´erie de Fourier.
2. Ecrire l’identit´e de Parseval correspondant `a cette s´erie de Fourier.
Exercice 3. En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de l’´equation diff´erentielle
y00(x) +y0(x)−2y(x) = x,
v´erifiant les conditions initiales y(0) =y0(0) = 0. V´erifier le r´esultat.
Exercice 4. En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de la mˆeme ´equation diff´erentielle
y00(x) +y0(x)−2y(x) = x,
v´erifiant les conditions limites y(0) = 0, y0(1) = 0. Expliquer pourquoi la m´ethode des fonctions de Green n’est pas appliquable aux conditions limitesy0(0)−y(0) = 0,y0(1)−y(1) = 0.
