Universit´e Joseph Fourier UE MAT244, ann´ee 2010-2011 Examen du 26 mai 2011
Dur´ee: 2 heures – il sera tenu particuli`erement compte de la r´edaction.
Documents, calculettes et t´el´ephones portables interdits.
Exercice 1
On consid`ere l’espaceR3 muni de sa base canonique (e1, e2, e3). On introduit la forme quadratiqueq dont la matrice dans la base (e1, e2, e3) est donn´ee par
A=
−1 −1 1
−1 −1 −1
1 −1 −1
.
1.a. ´Ecrire l’expression de la forme bilin´eairebet de la forme quadratiqueqassoci´ees `aAdans la base (e1, e2, e3).
1.b. Effectuer une d´ecomposition de q en carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes `a l’aide de l’algorithme de Gauss. En d´eduire le rang et la signature deq.
1.c. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. En d´eduire une base orthonorm´ee (u1, u2, u3) de R3 qui soit orthonorm´ee pour le produit scalaire euclidien canonique et qui soit orthogonale pourb.
Donner une nouvelle d´ecomposition deq en carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes, que l’on exprimera dans la base canonique deR3.
1.d. D´eterminer la nature g´eom´etrique de l’ensembleS des vecteurs isotropes deq (c’est-`a-dire des vecteursv tels queq(v) = 0).
Exercice 2 On consid`ere dansR2la coniqueC d’´equation
x2−xy+y2−2x+ 4y= 0.
2.a. Trouver un rep`ere orthonorm´e (M0,−→u ,−→v) de R2 pour la structure euclidienne canonique, dans lequel la nouvelle ´equation de C prend la formeαx′2+βy′2+γ= 0.
2.b. D´eterminer la nature g´eom´etrique de la coniqueC ainsi que son centre de sym´etrie.
Exercice 3 On consid`ere une fonction p´eriodiquef de p´eriode 2πtelle que
f(x) =eax, x∈]−π, π[, f(π) = 0, o`uaest un param`etre r´eelnon nul.
3.a. Calculer les coefficients de Fourier complexescn def pour toutn∈Z.
3.b. D´eterminer la limite S(x) de la s´erie de Fourier de f en tout pointx∈Ret d´eterminer en quels pointsx on af(x) =S(x).
3.c. Utiliser la formule de Parseval-Bessel pour ´evaluer la valeur de la somme X
n∈Z
1 a2+n2.
3.d. D´eterminer, pour le produit scalaire L2, la projection orthogonale de f sur le sous-espace des fonctions p´eriodiques de p´eriode 2π engendr´e par les polynˆomes trigonom´etriques de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 (c’est-`a-dire le sous-espace engendr´e par les fonctionsx7→einx,−2≤n≤2).
