UGA-Mat404-TD2 Formes bilin´eaires et bases orthogonales. 2021 1

UGA-Mat404-TD2 Formes bilin´ eaires et bases orthogonales. 2021

1

Exercice 1. (+) Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilin´ eaires ? Sont elles sym´ etriques ? 1. φ : R

× R

→ R , φ

x

x

,

y

y

= x

y

+ x

y

.

2. φ : R

[X] × R

[X] → R , φ(P, Q) = 2P

(1)P (0) + Q

(1)Q(0) puis φ(P, Q) = 2P

(1)Q(0) + Q

(1)P (0).

3. φ : C([0, 1], R ) × C([0, 1], R ) → R , φ(f, g) = Z

0

f(x)g(1 − x)dx.

2

Exercice 2. (+) Pour chacune des formes bilin´ eaires suivantes, calculer sa matrice M

dans la base B

et sa matrice M

dans la base B

. Calculer P , la matrice de passage de B

vers B

, et v´ erifier que M

=

P M

P . La forme bilin´ eaire φ est elle sym´ etrique ?

φ : R

× R

→ R φ(

x

x

,

y

y

) = x

y

+ 3y

x

B

= 1

0

, 0

1

, B

= 1

1

, 1

2

.

φ : R

[X] × R

[X] → R φ(P, Q) = P (1)Q(−1) B

= {1, X, X

}, B

= {1, (X − 1), (X

− 3X + 2)}

φ : R

[X] × R

[X] → R φ(P, Q) = R

0

P (x)Q(1 − x)dx B

= {1, X, X

}, B

= {1, (X − 1), X

− X}.

3

Exercice 3.

1. Soit Ψ une forme bilin´ eaire d´ efinie sur V × V o` u V est un R -espace vectoriel de dimension n. Soit B une base de V et A la matrice de Ψ dans cette base. Montrer que l’application

Φ : E × E → R d´ efinie par Φ(u, v) = Ψ(v, u)

est une forme bilin´ eaire, calculer sa matrice dans la base B en fonction de A. Montrer que Ψ est sym´ etrique (resp. antisym´ etrique) si et seulement si A l’est.

4

2. D´ emontrer que toute matrice M de M

( R ) s’´ ecrit comme somme de la matrice sym´ etrique

(M +

M ) et de la matrice antisym´ etrique

(M −

M ).

D´ emontrer que c’est l’unique fa¸con d’´ ecrire M comme une somme d’une matrice sym´ etrique et une matrice anti-sym´ etrique.

3. Montrer que toute forme bilin´ eaire ∆ : E × E → R s’´ ecrit de fa¸con unique comme la somme de deux formes bilin´ eaires, l’une sym´ etrique, l’autre antisym´ etrique, que l’on pr´ ecisera.

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Exercice 4. (*) Pour chaque forme bilin´ eaire φ, sur l’espace vectoriel V donner son rang (sauf pour le 4) et calculer son noyau. Trouver l’orthogonal pour φ du sous-espace W (sauf pour le 4).

1. V = R

, φ







 x

x

x



 ,



 y

y

y







 = x

y

+ x

y

+ x

y

, W =









 x y z



 ∈ R

| x + y + z = 0







2. V = R

, φ :







 x

x

x



 ,



 y

y

y







 = x

y

+ 2x

y

, W =









 x y 0



 |x, y ∈ R







6

3. V = R

, φ







 x

x

x



 ,



 y

y

y







 = x

y

+ x

y

+ x

y

+ 2x

y

, W =









 x 0 z



 |x, z ∈ R





 4. V = C

([0, 1], R ), φ(f, g) = R

0

f (x)g(x)dx

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Exercice 5. Soient A et B des matrices n × n. Montrer l’implication suivante :

∀X, Y ∈ R

,

XAY =

XBY ⇒ A = B.

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Exercice 6. Soit V un espace vectoriel, et φ une forme bilin´ eaire sym´ etrique d´ efinie sur V .

1. V´ erifier que si q

est la forme quadratique associ´ ee ` a la forme φ alors on a la relation φ(x, y) =

(q

(x + y) − q

(x − y)) 2. En d´ eduire que si q

(u) = q

(v), alors (u + v ) et (u − v ) sont orthogonaux pour la forme bilin´ eaire φ.

3. Interpr´ eter ce r´ esultat quand V = R

et φ est le produit scalaire canonique sur R

.

9

Exercice 7. V´ erifier que si V est un espace vectoriel et q

est la forme quadratique associ´ ee ` a la forme bilin´ eaire sym´ etrique φ sur V × V alors on a les r´ elations

φ(x, y) = 1

2 (q

(x + y) − q

(x) − q

(y)), q

(x) + q

(y) = 1

2 (q

(x + y) + q

(x − y)).

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Exercice 8. (+) Pour chaque forme quadratique q sur R

, donner la forme polaire φ associ´ ee et la matrice de φ dans la base canonique de R

. 1. q (x, y, z) = x

+ 2y

+ 3z

2. q (x, y, z) = 2xy + 4xz + 6yz 3. q (x, y, z) = x

+ y

+ z

+ xy + yz 4. q (x, y, z) = x

+ y

+ z

+ 2xy + 4yz

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Exercice 9. (*) (version simplifi´ ee de la forme de Minkowski). Sur R

, on consid` ere la forme bilin´ eaire

ϕ : R

× R

→ R , ϕ x

y

, x

y

7→ x

x

− y

y

.

1. Donner la matrice N de ϕ dans la base canonique de R

. 2. Soit P =

a b d e

une matrice telle que ϕ(P V , P W ) = ϕ(V , W ) pour tous V , W dans R

. On suppose pour simplifier que a, e > 0.

Montrer que ϕ(P V , P W ) = ϕ(V , W ) pour tout V , W si et seulement si a

− d

= 1, b

− e

= −1 et ab = de.

3. En d´ eduire que a = e. On pose β = √

a

− 1, montrer que b = d = ±β.

4. Ecrire P en fonction de b. Que constate-t-on ? (On pourra faire une substitution b = sinh(α). )

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Exercice 10. Soit M = a b

b d

∈ M

( R ). Montrer que les assertions suivantes sont ´ equivalentes : (i) pour tout X ∈ R

\ {0},

XM X > 0.

(ii) a > 0 et ad − b

> 0.

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Exercice 11. On pose A = 2 1

1 2

.

1. Trouver une base de R

qui est orthogonale pour la forme bilin´ eaire donn´ ee par la matrice A dans la base canonique de R

. 2. En d´ eduire une base orthonorm´ ee pour cette mˆ eme forme.

3. Quel est le rang de A ?

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Exercice 12. (*) Soit V l’espace vectoriel des matrices r´ eelles 2 × 2.

1. Soit φ la forme bilin´ eaire d´ efinie, pour tout (A, B) ∈ V × V , par φ(A, B) = Tr(

AB).

(a) D´ eterminer sa matrice par rapport ` a la base canonique de V . (b) D´ emontrer qu’elle est sym´ etrique et donner son rang.

(c) Trouver une base φ-orthonormale pour M

( R ).

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2. Soit D la forme quadratique d´ efinie, pour tout A ∈ V , par D(A) = Det(A).

(a) Calculer la forme bilin´ eaire sym´ etrique associ´ ee ` a D.

(b) Donner son rang et sa matrice dans la base canonique de M

( R ).

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Exercice 13. (*) Sur M

( R ) on consid` ere la forme τ(A, B) = Tr(AB) o` u Tr est la trace d’une matrice.

1. Montrer que τ est une forme bilin´ eaire sym´ etrique.

2. Montrer que pour toute matrice carr´ ee A 6= 0 il existe B telle que τ (A, B) 6= 0. (On pourra calculer τ (

AA)).

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Exercice 14. (+) Pour chaque forme quadratique q

— Appliquer la r´ eduction de Gauss ` a q pour l’´ ecrire comme combinaison lin´ eaires de carr´ es de formes lin´ eaires ind´ ependantes.

— D´ eduire la signature et le rang de q. Donner une base q-orthogonale pour R

. Si possible, donner une base q-orthonorm´ ee de R

.

— La forme bilin´ eaire associ´ ee ` a q est elle un produit scalaire ? 1. q(x, y) = x

+ xy + 3y

,

2. q(x, y) = x

− 5xy − y

,

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3. q(x, y) = xy,

4. q(x, y, z) = x

− 2y

+ xz + yz , 5. q(x, y, z) = xy − yz,

6. q(x, y, z) = 3x

+ y

+ 2xy − 3xz.

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Exercice 15. (+) Soit R

[X] l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a deux, on consid` ere sur R

[X] la forme quadratique qui ` a un polynˆ ome associe son discriminant :

∆ : R

[X] → R

P (X) = aX

+ bX + c 7→ ∆(P ) = b

− 4ac 1. Donner la forme bilin´ eaire sym´ etrique ϕ associ´ ee ` a ∆.

2. Donner la matrice de la forme polaire ϕ dans la base F

= {1, X, X

}.

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3. Montrer que pour tout polynˆ ome P (X) = aX

+ bX + c de R

[X], on peut ´ ecrire : ∆(P ) = b

+ (a − c)

− (a + c)

. 4. Montrer que la famille de vecteurs F

= (

(X

− 1), X,

(X

+ 1)) est une base de R

[X].

5. Donner la matrice de passage de la base F

` a la base F

. Donner la matrice de la forme ϕ dans la base F

. 6. Exprimer ∆(P ) en fonction des coordonn´ ees de P dans la base F

. Donner le rang et la signature de ϕ.

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