Universit´e de Nice Licence de math´ematiques
2004-05 Alg`ebre et g´eom´etrie
Formes bilin´ eaires et quadratiques sur un espace euclidien
Dans tout ce chapitre,Esera un espace euclidien, c’est-
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a-dire un espace vectoriel sur le corps Rdes r´eels muni d’une forme bilin´eaire d´efinie positive de r´ef´erence, ap- pel´ee produit scalaire euclidien et not´ee h | i. La forme quadratique associ´ee est le carr´e de la norme euclidienne.
On note la norme euclidiennek k. Une propri´et´e fonda- mentale est l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :
∀x, y∈E |hx|yi| ≤ kxk kyk
avec ´egalit´e si et seulement sixety sont colin´eaires.
On suppose queEest de dimension finien. On se donne alors une deuxi`eme forme quadratique q, de forme po- laire b. L’objet de ce chapitre est l’´etude des propri´et´es m´etriques de q, c’est-`a-dire des propri´et´es de q inva- riantes par le groupe orthogonal deE.
11. D´efinitions et propri´et´e fondamentale Un peu de topologie : E ´etant un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sur E, en particulier la norme euclidienne, y d´efinissent la mˆeme topologie.
Pour cette topologie, la boule unit´e et la sph`ere unit´eS sontcompactes.
Il s’ensuit que toute forme lin´eairef :E−→Rest conti- nue. La norme de l’application lin´eaire f est la borne sup´erieure def sur la sph`ere unit´e qui existe et est at- teinte. De mˆeme l’application b: E×E −→R est une application bilin´eaire continue : sa norme d’application bilin´eaire est sa borne sup´erieure sur le produit S×S qui est compact. Par cons´equent l’application
q:E−→R
est aussi continue puisque c’est la compos´ee de l’appli- cation diagonale (toujours continue, le v´erifier)
E −→ E×E x 7−→ (x, x) avecb.
Consid´erons alors la borne sup´erieure λde l’application q surSet l’ensemble des pointsSλ o`u elle est atteinte.
On vient de voir queSλcontient au moins un point. On peut ´egalement consid´erer l’ensembleEλ des vecteursx deE qui v´erifient l’´egalit´e suivante
f(x) =λkxk2. Sλ est l’intersection deEλ avecS.
Lemme 11.1. SoitEun espace vectoriel r´eel de dimen- sion quelconque etf une forme quadratique positive sur
E de forme polaireφ. On a alors l’´egalit´e {x∈E|f(x) = 0}= kerf.
En particulier {x ∈ E | f(x) = 0} est un sous-espace vectoriel deE.
D´emonstration. Si x est dans le noyau, φ(x, y) est nul pour touty deE donc pourxet on af(x) = 0.
R´eciproquement, soitxtel quef(x) = 0. Poury dansE on a, pour toutαr´eel :
0≤f(αx+y) =f(αx) +f(y) + 2φ(αx, y)
=f(y) + 2αφ(x, y).
La fonctionα7−→f(y)+2αφ(x, y) est une fonction affine deRdansRqui reste toujours positive ou nulle. La seule
possibilit´e est queφ(x, y) = 0.
Exercice 11.2. Constater, sur l’exemple de la forme quadratique
f :E =R2 −→ k
x= (x1, x2) 7−→ f(x) =x1x2
que l’ensemble des vecteursxde E sur lesquels f s’an- nule (on les appellevecteurs isotropes def) n’est pas en g´en´eral un sous-espace vectoriel.
Exercice 11.3. Montrer le lemme analogue pour une forme hermitienne positive sur un espace vectoriel com- plexe.
Une cons´equence du lemme est que l’ensemble Eλ est un sous espace vectoriel de E, puisque c’est l’ensemble des vecteurs x de E sur lesquels la forme quadratique positivef :x7→λkxk2−q(x) s’annule.
Un deuxi`eme cons´equence du lemme est la suivante : si y est orthogonal (pour le produit scalaire) `a Eλ, alors b(x, y) = 0 pour tout vecteur x ∈Eλ, autrement dit y est aussi q-orthogonal (oub-orthogonal) `a Eλ. En effet, la forme polaire de la forme quadratique positivef est la diff´erence
φ: (x, y)7−→λhx|yi −b(x, y).
L’espaceEλ est le noyau de la formef, autrement dit,
∀x∈Eλ,∀y∈E, λhx|yi −b(x, y) = 0.
En particulierb(x, y)=0 pourx∈Eλ ety∈Eλ⊥. Exemple 11.3.1. Soitwun vecteur fix´e non nul dansE.
L’applicationq:v 7−→ |hw|vi|2 est une forme quadra- tique positive surE. Son noyau est l’hyperplan vectoriel (w)⊥. Le maximum de cette forme quadratique surSest la norme euclidienne dew.
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Consid´erons un sous-espace vectorielF de E et restric- tion qF de la forme quadratique pr´ec´edente `a F. C’est donc une forme quadratique positive sur F. Son noyau est l’intersectionF∩(w)⊥. V´erifier que le maximum de q sur la sph`ere unit´e SF de F est ´egal au carr´e de la norme de la projection orthogonale dewsurF.
On en vient maintenant au th´eor`eme fondamental.
Th´eor`eme 11.4. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension finie net qune forme quadratique sur E.
Il existe des r´eelsλ1≥. . .≥λn et une base orthonorm´ee B= (e1, . . . , en)deE dans laquelleq s’´ecrit
q(x) =
n
X
i=1
λix2i.
Les nombres λ1, . . . , λn ne d´ependent que de q. On les appelle valeurs principales de la forme quadratique f. En particulier, λ1 est la borne sup´erieure et λn la borne inf´erieure deq sur la sph`ere unit´e deE.
D´emonstration. La d´emonstration se fait par r´ecurrence sur la dimension de l’espace E. Pour n = 0 il n’y a rien `a faire. Soit n >0. Supposons que le probl`eme est r´esolu pour tout espace euclidien de dimension stricte- ment inf´erieure `a n.
Compte tenu du lemme 11.1 et de ses cons´equences, nous savons qu’il existe une d´ecomposition deEen une somme directe de deux sous-espaces orthogonaux Eλet E⊥λ qui sont aussi q-orthogonaux. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une base orthonorm´ee de Eλ⊥, dans laquelle la restriction de q a la forme voulue. En compl´etant cette base par une base orthonorm´ee de Eλ, on obtient une base orthonorm´ee de E qui remplit les conditions du th´eor`eme.
On remarque que l’on a utilis´e fortement l’hypoth`eseE est de dimension finie : pour la compacit´e deSet l’exis- tence de λ, pour l’existence d’un suppl´ementaire ortho- gonal, enfin dans la d´emonstration par r´ecurrence.
Exercice 11.5. Formuler et montrer l’´enonc´e analogue pour une forme hermitienne sur un espace vectoriel com- plexe.
12. R´eduction des matrices sym´etriques r´eelles sous le groupe orthogonal Soit q une forme quadratique sur E et B0 une base or- thonorm´ee de E dans laquelle la matrice de q est A.
Le th´eor`eme 11.4 affirme l’existence d’une base Bde E dans laquelle la matrice deqest diagonale, de coefficients diagonauxλ1, . . . , λn. SoitP la matrice de passage. On obtient donc quetP AP est une matrice diagonale. Mais P est une matrice orthogonale, autrement dittP =P−1, donc tP AP = P−1AP est une matrice diagonale. Une formulation matricielle, ´equivalente du th´eor`eme 11.4 est
Th´eor`eme 12.1. SoitA∈ Mn(R)une matrice sym´e- trique r´eelle. Il existe alors une matrice orthogonale P deOn(R)telle que P−1AP est une matrice diagonale.
Exercice12.2. Cet exercice fournit, entre autres choses, une autre d´emonstration des th´eor`emes 11.4 et 12.1 et de leurs analogues pour les formes hermitiennes.
On se donne un espace vectoriel hermitienE de dimen- sion finie n sur C et un endomorphisme ude E. Dans une base orthonorm´ee B0 deE la matrice de uestA∈ Mn(C).
a) Montrer (en prenant par exemple poury les ´el´ements d’une base orthonorm´ee), qu’il existe un unique endo- morphismeu∗ d´efini par la formule
∀x, y∈E, hy|u∗(x)i=hu(y)|xi
On appelle u∗ l’endomorphisme adjoint de u. Montrer que la matrice deu∗dans la baseB0est la matriceA∗=
tA.
b) On dira qu’un endomorphismeu∈End(E) est normal s’il commute avec son adjoint. Constater que c’est le cas siuest unitaire (u−1=u∗) ou hermitien (u=u∗).
Soit λ une valeur propre de u (dites pourquoi il y en a toujours au moins une) etEλ l’espace propre associ´e.
Montrer queEλ est stable par u∗. En d´eduire que l’or- thogonalEλ⊥ est stable paru.
c) Conclure, par r´ecurrence sur la dimension deE, qu’il existe une base orthonorm´ee de E dans laquelle la ma- trice deuest diagonale.
En d´eduire l’analogue matriciel : SoitA ∈ Mn(C) une matrice qui commute avec son adjointe (AA∗ =A∗A).
Il existe alors une matrice unitaire P∈Un(C)telle que P−1AP est diagonale.
d) Remarquer qu’une matrice hermitienne (resp. uni- taire) commute avec son adjointe. Montrer que les va- leurs propres d’une matrice hermitienne (resp. unitaire) sont r´eelles (resp. de module 1). Examiner le cas parti- culier des matrices sym´etriques r´eelles (hermitiennes et
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a coefficients r´eels) et orthogonales (unitaires et `a coef- ficients r´eels).
Corollaire 12.3. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension finien etq une forme quadratique sur E.
SoitB= (e1, . . . , en)une base orthonorm´eedeEetAla matrice (sym´etrique) deqdans cette base. La trace deA est ´egale `a la somme Pn
i=1q(ei). Elle est ind´ependante de la base orthonorm´ee utilis´ee pour la calculer.
Exemple 12.3.1. Reprenons l’exemple 11.3.1. La som- me des valeurs deqF sur les vecteurs d’une base ortho- norm´ee de F est le carr´e de la norme d’une projection orthogonale dewsur F. On constate qu’elle ne d´epend pas de la base orthonorm´ee.
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Exemple 12.3.2. Consid´erons une forme quadratiqueq non d´eg´en´er´ee dans un espace euclidien de dimension 2 et l’ensembleC des vecteursx∈E tels que|q(x)|= 1. On appelle diam`etre deCun couple de vecteurs (x,−x) tels que|q(x)|=|q(−x)|= 1. Le corollaire dit que la somme des carr´es des longueurs de 2 diam`etresq-conjugu´es est constante.
C’est un th´eor`eme d’Apollonius. Combien vaut la cons- tante siqest d´efinie positive (Cest alors une ellipse) ? si q est de signature (1,1) (C est alors la r´eunion de deux hyperboles) ?
G´en´eraliser l’´enonc´e en dimensionn.
Exercice 12.4 (Matrices de Gram). E est un espace vectoriel euclidien de dimensionn. Consid´erons un syst`e- me V = (v1, . . . , vp) de p vecteurs de E et la matrice sym´etrique GV dont les coefficients sont les hvi | vji, 1 ≤i, j≤p. On l’appellematrice de Gram du syst`eme V.
a) V´erifier que det(GV) = 0 si le syst`emeV est li´e.
b) On suppose ici queV est un syst`eme libre. Constater que la matrice GV est la matrice, dans la baseV, de la restriction du produit scalaire `a V = Vect(v1, . . . , vp).
En d´eduire qu’il existe une matriceP de GLp(R) telle que GV =tP P. Que repr´esente la matrice P? Montrer que le d´eterminant deGVest un nombre positif non nul.
Si y = Pp
i=1yivi est un vecteur de V on a donc, en notantY la matrice colonne de ses coordonn´ees dans la baseV
kyk2=tY GVY
Application: on prend n= 3 etp= 2. Montrer que le d´eterminant de la matrice de Gram d’un syst`eme de 2 vecteurs v1, v2 est ´egal au carr´e de la norme du produit vectorielv1∧v2 (l’orientation n’intervient pas).
c) On suppose toujours queV est un syst`eme libre. Soit x un vecteur de E. On consid`ere la matriceGV,x, ma- trice de Gram du syst`eme (v1, . . . , vp, x). Montrer quex appartient `aV si et seulement si det(GV,x) = 0.
On suppose maintenant quex /∈V. SoitB= (e1, . . . , ep) une base deV etP la matrice de passage deV`aB. ´Ecrire la matrice de passage de (v1, . . . , vp, x) `a (e1, . . . , ep, x) en fonction deP. Conclure que la quantit´e
det(GV,x) det(GV)
ne d´epend pas de la base (v1, . . . , vn) deV choisie pour la calculer. En la calculant dans une base orthonorm´ee deV, conclure que, pour toutxdeE,
det(GV,x)
det(GV) = (d(x, V))2=kxk2− kprV(x)k2 o`u prV est la projection orthogonale surV etd(x, V) est la distance dex`a V.
Exercice12.5. On consid`ere un espace euclidien de di- mension finie 2 surRet une forme quadratiqueqsurE de forme polaire b. On se donne une base orthonorm´ee B= (e1, e2) et la matrice Ade qdans cette base ortho- norm´ee. On d´esigne parC l’ensemble des vecteursxde E tels que|q(x)|= 1.
a) On consid`ere deux vecteurs ind´ependants (v1, v2) qui sont q-conjugu´es, c’est-`a-dire tels que b(v1, v2) = 0 et que|q(v1)|=|q(v2)|= 1. Calculer la matrice deqdans la base (v1, v2) et montrer que
|detA|=
detB(v1, v2)
−2
o`u detB(v1, v2) est le d´eterminant de la matrice des coor- donn´ees des (v1, v2) dans la base orthonorm´eeB. On peut interpr´eter|detB(v1, v2)|comme l’aire du parall´elogram- me construit sur les vecteursv1, v2, l’aire unit´e ´etant celle du carr´e construit sur les vecteurs e1, e2 de la base or- thonorm´ee.
On appelle parall´elogramme construit sur un syst`eme de vecteurs (v1, v2) l’ensemble des vecteurs xde E qui s’´ecrivent :
x=λ1v1+λ2v2 avec 0≤λ1, λ2≤1.
En d´eduire que l’aire du parall´elogramme construit sur deux vecteursq-conjugu´es est constante. C’est un autre th´eor`eme d’Apollonius (cf. 12.3.2). Combien vaut cette constante si q est d´efinie positive (C est alors une el- lipse) ? siqest de signature (1,1) (Cest alors la r´eunion de deux hyperboles) ?
b) Remarquer que l’identit´e
q(x+h)−q(x) = 2b(x, h) +q(h)
valable pour toutxet touthdeE montre que l’applica- tion lin´eaireh7−→2b(x, h) est la diff´erentielle deqenx.
En effet,|q(h)| ≤ |λ| khk2 o`u |λ|est la borne sup´erieure de|q|surS,i.e.le plus grand module des valeurs princi- pales deq. Doncq(h) est uno(h) au voisinage deh= 0.
Calculer un vecteur directeur de la tangente en x`a C.
En d´eduire que deux vecteursxety sontq-conjugu´es si et seulement si la tangente `a Cenxest dirig´ee pary.
c) G´en´eraliser `a la dimensionn.
