1.1 Th´ eor` eme. Soit A une matrice n × n ` a coefficients dans C et soient λ 1 , . . . , λ n ses valeurs propres. On a l’in´ egalit´ e :

.

1 Une in´ egalit´ e

Il s’agit de montrer le r´ esultat suivant :

1.1 Th´ eor` eme. Soit A une matrice n × n ` a coefficients dans C et soient λ ₁ , . . . , λ _n ses valeurs propres. On a l’in´ egalit´ e :

n

X

i=1

|λ _i | ² ≤ Tr (AA ^∗ ) = Tr (A ^∗ A).

D´ emonstration. 1) On montre d’abord le r´ esultat lorsque les valeurs propres de A sont r´ eelles.

On sait que l’application A 7→ q(A) = Tr (AA ^∗ ) est une forme hermitienne d´ efinie positive sur M _n (C), dont la forme polaire est ϕ(A, B) = ¹ ₂ (Tr (AB ^∗ ) + Tr (BA ^∗ )). Pour A, B ∈ M _n (C) on a l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz : |ϕ(A, B)| ² ≤ q(A)q(B). On applique cette in´ egalit´ e ` a A et A ^∗ . On a q(A) = q(A ^∗ ) = Tr (AA ^∗ ) et ϕ(A, A ^∗ ) = ¹ ₂ Tr (A ² ) + Tr ((A ^∗ ) ² ) = ¹ ₂ P n

i=1 λ ² _i + P n i=1 λ _i ²

. Comme les λ _i sont r´ eels, on a ϕ(A, A ^∗ ) = P n

i=1 |λ _i | ² et la conclusion.

2) On utilise un lemme :

1.2 Lemme. Soit A une matrice n × n ` a coefficients dans C et soient λ <sub>1</sub> , . . . , λ <sub>n</sub> ses valeurs propres. On peut ´ ecrire A sous la forme A = BU o` u U est une matrice unitaire et o` u B a pour valeurs propres |λ ₁ |, . . . , |λ _n |.

Avec ce lemme on peut achever la preuve du th´ eor` eme. En effet, on a AA ^∗ = BU U ^∗ B ^∗ = BB ^∗ et on a, en vertu du premier cas,

n

X

i=1

|λ _i | ² ≤ Tr (BB ^∗ ) = Tr (AA ^∗ ).

3) Il reste ` a prouver le lemme. On proc` ede par r´ ecurrence sur n. Pour n = 1 on a A = (a) = (|a|e ^iθ ) et on prend U = (e ^−iθ ). Pour passer de n − 1 ` a n on munit C <sup>n</sup> du produit scalaire canonique pour lequel la base canonique est orthonorm´ ee. On choisit un vecteur propre e <sub>1</sub> de A relatif ` a λ ₁ = |λ ₁ |e ^{iθ 1} et de norme 1. On compl` ete e <sub>1</sub> en une base orthonorm´ ee e <sub>1</sub> , . . . , e <sub>n</sub> et on note P la matrice (unitaire) de passage. On a A = P A <sup>0</sup> P <sup>∗</sup> o` u A ⁰ s’´ ecrit par blocs A ⁰ =

λ ₁ w

0 M

, avec M ∈ M n−1 (C). Le d´ eveloppement du polynˆ ome caract´ eristique det(A − XId) montre que les valeurs propres de M sont λ 2 , . . . , λ n . Par l’hypoth` ese de r´ ecurrence on peut ´ ecrire M = N V o` u N a pour valeurs propres |λ ₂ |, . . . , |λ _n | et o` u V est unitaire de dimension n − 1. On pose alors U ⁰ =

e ^{iθ 1} 0

0 V

, de sorte qu’on a A ⁰ U ⁰⁻¹ =

|λ ₁ | wV ⁻¹

0 N

:= B ⁰ . On a ainsi ´ ecrit A ⁰ = B ⁰ U ⁰ , o` u B <sup>0</sup> a pour valeurs propres |λ 1 |, . . . , |λ n | et o` u U ⁰ est unitaire. Mais alors, on a A = P A ⁰ P ^∗ = P (B ⁰ U ⁰ )P ^∗ = (P B ⁰ P ^∗ )(P U ⁰ P ^∗ ) = BU , avec les conditions requises : B est semblable ` a B ⁰ , donc a les mˆ emes valeurs propres, et U est produit de trois matrices unitaires, donc est unitaire.

1.3 Remarque. Comme Bernard H´ eron me l’a fait remarquer, une autre m´ ethode pour ´ etablir

l’in´ egalit´ e ci-dessus consiste ` a utiliser la d´ ecomposition de Schur, c’est-` a-dire ` a ´ ecrire A = U ^∗ T U

avec U unitaire et T triangulaire.