0.1 Th´ eor` eme. Soit n un entier ≥ 1. On a la formule :

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Un exo rigolo

L’exercice

0.1 Th´ eor` eme. Soit n un entier ≥ 1. On a la formule :

A _n :=

n−1

Y

k=1

sin kπ n = n

2 ⁿ⁻¹ .

Une d´ emonstration

On pose ζ = e ^iπ/n . Ce nombre est racine primitive 2n-` eme de l’unit´ e. On a donc ζ ²ⁿ = 1 et ζ ⁿ = −1. Si n est pair on a, de plus, ζ ^n/2 = i.

On a aussi ζ ^k = e ^ikπ/n et ζ ^−k = e ^−ikπ/n , d’o` u sin kπ

n = ζ ^k − ζ ^−k

2i . On en d´eduit : A _n =

n−1

Y

k=1

ζ ^k − ζ ^−k

2i =

n−1

Y

k=1

ζ ^2k − 1 2iζ ^k .

Mais, le produit P _n =

n−1

Y

k=1

ζ ^k se calcule et c’est ζ 1+2+···+(n−1) = ζ ^{n(n−1) 2} . Si n est impair on a P _n = (−1) ^(n−1)/2 = i ⁿ⁻¹ , si n est pair on a encore P _n = i ⁿ⁻¹ . Avec le terme i ⁿ⁻¹ provenant des n − 1 coefficients i en d´ enominateur de A _n cela fait (−1) ⁿ⁻¹ et on a donc :

A _n = (−1) ⁿ⁻¹

n−1

Y

k=1

ζ ^2k − 1 2 ⁿ⁻¹ .

Pour calculer le produit Q n =

n−1

Y

k=1

(ζ ^2k − 1), on note que les ζ ^2k sont les racines n-` emes de 1 diff´ erentes de 1 (car ζ est une racine 2n-` eme de 1). En vertu de la formule :

X ⁿ − 1 = (X − 1)(X ⁿ⁻¹ + X ⁿ⁻² + · · · + X + 1),

ce sont donc les racines de P (X) = X ⁿ⁻¹ + X ⁿ⁻² + · · · + X + 1. Mais alors les ζ ^2k − 1 sont les racines de :

P (X + 1) = (X + 1) ⁿ⁻¹ + (X + 1) ⁿ⁻² + · · · + (X + 1) + 1 = X ⁿ⁻¹ + · · · + n.

Le produit des racines de ce polynˆ ome, qui n’est autre que Q _n , vaut alors (−1) ⁿ⁻¹ n (au signe pr` es c’est le coefficient constant du polynˆ ome) et on en d´ eduit la formule annonc´ ee.

En fait, comme Bernard H´ eron me l’a fait remarquer, on a les formules ¹ :

n−1

Y

k=0

sin x + kπ

n = sin x

2 ⁿ⁻¹ ou encore

n−1

Y

k=1

sin x + kn n = 1

2 ⁿ⁻¹ sin x sin _n ^x dont celle de l’exercice se d´ eduit en faisant tendre x vers 0.

1. Merci ` a Olivier Perrin de m’avoir fait remarquer une erreur dans la version pr´ ec´ edente de ce texte.

1

Une d´ emonstration plus simple

Elle m’a ´ et´ e communiqu´ ee par G´ ery Huvent que je remercie vivement.

Posons ξ = e ^2iπ/n . Les racines n-i` emes de l’unit´ e sont les ξ ^k , de sorte que l’on a X ⁿ − 1 =

n−1

Y

k=0

X − ξ ^k et Q _n (X) := 1 + X + · · · + X ⁿ⁻¹ =

n−1

Y

k=1

X − ξ ^k . On en d´ eduit

Q _n (1) = n =

n−1

Y

k=1

1 − ξ ^k =

n−1

Y

k=1

1 − ξ ^k .

Mais on a 1 − ξ ^k = 1 − cos ^2kπ _n + i sin ^2kπ _n d’o` u

1 − ξ ^k

2 = 2(1 − cos ^2kπ _n ) et avec la formule cos 2α = 1 − 2 sin ² α on a

1 − ξ ^k

= 2 sin ^kπ _n car les sinus en question sont tous positifs pour k ≤ n − 1. On en d´ eduit le r´ esultat.

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