UNIVERSIT´E PARIS 6 LM366. 2006-2007 FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE
Corrig´e de l’examen du 7 Juin 2007
Exercice 1. — La fonction f : C z → 1+eiazz2 est m´eromorphe, de pˆoles simples i et −i, et R´es(f, i) = e2−ai , R´es(f,−i) = −e2ai. Si R > 1, on note γ1,R : [−R, R] t → t ∈ C , γ2,R : [0, π] t → Reit et γR le lacet obtenu par juxtaposition de γ1,R et γ2,R. Comme Ind(−i, γR) = 0 et Ind(i, γR) = 1, le th´eor`eme des r´esidus appliqu´e `a f dans C convexe, donne
γRf(z)dz = πe−a. Or
R→+∞lim |
γ2,R
f(z)dz| ≤ lim
R→+∞πR 1
R2−1 = 0 car |eiaz| = e−aIm(z) ≤ 1 sur γ2,R. f restreinte `a IR ´etant int´egrable, lim
R→+∞
γ1,R
f(z)dz=
+∞
−∞
eiax 1 +x2dx.
Doncπe−a= lim
R→+∞
γR
f(z)dz=
+∞
−∞
eiax
1 +x2dx+ 0.
Exercice 2. — 1.Si θ∈[0,2π],
n,m∈IN
|amanrn+mei(m−n)θ|= (
n∈IN
|an|rn)2<+∞ car il y a convergence normale sur le disque D(0, r). Donc la famille double (amanrn+mei(m−n)θ)m,n∈INest normalement sommable et
|f(reiθ)|2= (+∞
n=0anrneinθ)(+∞
m=0amrmeimθ) =
n,m∈INamanrn+mei(m−n)θ. 2. Comme la famille double (amanrn+mei(m−n)θ)m,n∈IN est normalement som- mable et que [0,2π] est de mesure finie, on peut commuter sommation et int´egrale (th´eor`eme de Fubini) : 2π
0 |f(reiθ)|2dθ = 2π 0
n,m∈INamanrn+mei(m−n)θdθ =
n,m∈INamanrn+m2π
0 ei(m−n)θdθ =
n∈IN2π|an|2r2n. Comme 2π
0 |f(reiθ)|2dθ ≤ 2πmax|z|=r|f(z)|2, on d´eduit l’in´egalit´e voulue.
Exercice 3. — 1. Si f(Δ) n’est pas dense dans C , il existe un disque ouvert non vide D(a, α) disjoint def(Δ). La fonctiong : Δz→ f(z1)−a est donc holomorphe born´ee parα−1 et{0}est une singularit´e isol´ee ´eliminable.gadmet un prolongement en une fonction holomorphe ˜g surD(0, r) etf = 1˜g+aest m´eromorphe surD(0, r).
2. Th´eor`eme de l’application ouverte : Si U est un ouvert connexe de C et f est holomorphe surU et non constante alors f(U) est un ouvert de C .
3. Soit U un ouvert non vide de Δ disjoint de Δ = D(0, )\ {0} (0 < < r).
Comme f est injective (donc non constante), f(Δ) etf(U) sont deux ouverts non vides disjoints etf(Δ) est non dense. La question 1 appliqu´ee `af|Δentraˆıne que la singularit´e est au plus polaire.
4. La fonction C∗ z → g(1z) est holomorphe et injective (comme compos´ee d’in- jections) donc la question 3 entraˆıne que 0 est une singularit´e polaire. Or g(z) =
+∞
n=0anzn est la somme sur C de sa s´erie de taylor en l’origine, donc g(1z) =
+∞
n=0anz−n. La singularit´e ´etant au plus polaire, il existe k ∈ IN tel que n ≥ k entraˆınean= 0. Doncg est un polynˆome injectif, c’est `a direz→az+b aveca= 0.
Exercice 4. — 1.On a|E(z)|=| −z2exp(z+z2
2)| ≤ |z|2e−ln12 ≤2|z|2, si|z| ≤1 2. Donc si|z| ≤ 1
2,|E(z)−1|=|
[0,z]
E(u)du| ≤ |z|
0
2t2dt≤ |z|3. 2. Soit R≥0. Comme
+∞
n=1
1/|an|3 <+∞, il existen0 ∈IN tel que n≥n0 entraˆıne
1
2
R
|an| ≤ 1
2. D’apr´es la question pr´ec´edente,
n≥n0
|maxz|≤R|E(z/an)−1| ≤
n≥n0
R3
|an|3 <+∞. Donc la s´erie
+∞
n=1
(E(z/an)−1) converge normalement surD(0, R), ceci pour toutR≥0.
3. D’apr´es le cours la question 2 entraˆıne que le produit infini F(z) =
+∞
n=1
E(z/an) converge normalement sur tout compact vers une fonction holomorpheF sur C , dont la suite des z´eros est (an)n∈IN et dont la d´eriv´ee logarithmique est
F(z) F(z) =
+∞
n=1
E(z/an) E(z/an) =
+∞
n=1
1
z−an + 1 an + z
a2n
.
Exercice 5. — 1. Comme ρ > 0, posant g = f −w, alors |z| = r entraˆıne
|f(z)−g(z)| =|w|< ρ <|f(z)|. Le th´eor`eme de Rouch´e entraˆıne que f et g ont le mˆeme nombre de z´eros dansD(0, r). Donc pour toutw∈D(0, ρ), il existe un et un seul nombrez∈D(0, r) tel que f(z) =w.
2. La fonction z → zf(z)
f(z)−w est m´eromorphe au voisinage de D(0, r), de pˆole simplez0∈D(0, r), la racine de f−w. Le calcul du r´esidu se fait comme en cours : f(z)−w= (z−z0)h(z), avechholomorphe sans z´eros au voisinage deD(0, r), donc
zf(z)
f(z)−w = z
z−z0+zh(z)
h(z) . Le r´esidu de cette fonction enz0vautz0. Appliquant le th´eor`eme des r´esidus pour le disqueD(0, r), 1
2iπ
∂D(0,r)
zf(z)
f(z)−wdz=z0=g(w).
3. Si |z|= r, alors |w| < ρ≤ f(z), donc zf(z) f(z)−w =
+∞
n=0
zf(z)
f(z)n+1wn et cette s´erie converge normalement sur|z|=rcar
+∞
n=0
max|z|=r| zf(z)
f(z)n+1wn| = +∞
n=0
1
ρn+1wnmax
|z|=r|zf(z)| < +∞. On peut commuter int´egrale et s´erie :
g(w) = 1 2iπ
∂D(0,r)
zf(z) f(z)−wdz=
+∞
n=0
1 2iπ(
∂D(0,r)
zf(z)
f(z)n+1dz)wn.
