Universit´e Paris-Sud Ann´ee 2018–2019 Licences L3 PAPP & PMEC
Math´ematiques pour la Physique II
TD 5 : Applications du th´ eor` eme des r´ esidus
Exercice 1 : Calcul de s´eries 1 – Calculer la s´erie
∞
X
n=1
1
n2+a2 (1)
Indication :consid´erer la fonction πzcot(πz)2+a2 . V´erifier votre r´esultat en faisanta→0.
2 – En utilisant la fonction f(z) = 1
z4sinπz, prouver que :
∞
X
n=1
(−1)n
n4 =−7π4 720.
Exercice 2 : Calcul d’int´egrales
Calculer les int´egrales suivantes, en utilisant l’int´egration dans le plan complexe :
I1 = Z +∞
0
xα
1 +xndx (pourn∈N, n>2, n >1 +α >0),
I2 = Z +∞
0
sinx
x[x4+ (1−π2)x2−π2]dx ,
I3 = Z 2π
0
dθ
1 +αcosθ (pour−1< α <+1)
I4 = Z +∞
0
dx
xα(1 +x) (pour 0< α <1),
I5 = Z +∞
0
lnx
1 +x3dx (on int`egrera la fonction (lnz−C)2
1 +z3 o`u C est une constante ad hoc).
