L3 de Math´ematiques Ann´ee 2020–2021
Structures lin´ eaires et bilin´ eaires
Examen (session 1) (dur´ee : 3h)
Exercice 1 (5 points). Soit A=
1 1 1 0 1 0
−1 0 3
.
a) Calculer det(A−2I3) et det(A−I3).
b) Le polynˆome p1(λ) = (λ−2)(λ−1) est-il annulateur de A? Mˆeme question pourp2(λ) = (λ−2)2(λ−1) ?
c) Donner le polynˆome minimal µA de A ainsi que son polynˆome caract´eristique χA. d) Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et h·|·ile produit scalaire canonique sur R3.
(1) Trouver tous les u1 ∈R3 tels que (A−2I3)u1 = 0 ethu1|e1i= 1.
(2) Trouver tous les u2 ∈R3 tels que (A−2I3)u2 =u1 et hu2|e2+e3i= 1.
(3) Trouver tous les u3 ∈R3 tels que (A−I3)u3 = 0 et hu3|e1+e2i= 1.
e) En se servant des questions pr´ec´edentes, trouver une base de jordanisation deA et la forme r´eduite de Jordan dans cette base.
Exercice 2(5 points). SoitM = 1 1
1 0
, et soitφ1 :M2(R)×M2(R)→Rla forme bilin´eaire donn´ee par φ1(A, B) = tr(tBM A) pour tout A, B ∈ M2(R).
a) Montrer que φ1 est sym´etrique.
b) Trouver la matrice de φ1 dans b, la base canonique de M2(R), c’est-`a-dire b = (b1, . . . , b4) avec b1 =
1 0 0 0
,b2 =
0 1 0 0
, b3 =
0 0 1 0
, b4 =
0 0 0 1
.
c)Soitq2 :R4×R4 →Rla forme quadratique donn´ee parq2(x) = (x1+x3)2+(x2+x4)2−x23−x24 pour tout x ∈ R4 de coefficients (x1, x2, x3, x4). Donner la forme polaire φ2 de q2 ainsi que sa matrice dans la base canonique de R4.
d) D´eterminer la signature de φ1. Est-ce queφ1 est positive ? Non-d´eg´en´er´ee ? e) Trouver l’orthogonal de Vect(b1, b2) pour φ1.
Exercice 3 (5 points). Soit
A =
2 −1 0
−1 2 0
0 0 3
, B =
0 0 0 0 0 0 0 0 5
.
Soith·|·i:R3×R3 →R(`a ne pas confondre avec le produit scalaire canonique deR3!) la forme bilin´eaire sym´etrique dont la matrice dans la base canonique de R3 estA.
a) Trouver les valeurs propres et une base de R3 de vecteurs propres de A.
b) Justifier que la forme bilin´eaire sym´etrique h·|·i est un produit scalaire.
c) V´erifier que le vecteur u1 =t(−1,1,0) est un vecteur de propre de A et pr´eciser la valeur propre. Calculer sa normeku1kpour le produit scalaireh·|·i(`a ne pas confondre avec le produit scalaire canonique deR3!).
d) Trouver une base (v1, v2, v3) de R3 de vecteurs propres de A, orthonorm´ee pour h·|·i, telle que v1 = kuu1
1k.
e) Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee pour h·|·i, form´ee de vecteurs propres de B.
Exercice 4 (5 points). Soit n ≥ 1 entier. Supposons que A, B ∈ Mn(C) sont des matrices v´erifiant [A, B] =A (o`u [A, B] =AB−BA).
a) Montrer par r´ecurrence que pour tout k ≥1 entier, [Ak, B] =kAk.
b) Soit f : Mn(C) → Mn(C) l’endomorphisme donn´e par f(M) = [M, B] pour tout M ∈ Mn(C). Montrer quef(Ak) = kAk pour tout k ≥1 entier. Montrer queA est nilpotente.
On supposera dans la suite que n = 2.
c) Soit p(λ) = aλ2+bλ+cun polynˆome de degr´e≤2, o`ua, b, c∈R. En utilisant a), exprimer [p(A), B] comme polynˆome deA.
d) Soit maintenant χA(λ) = λ2 +bλ+c le polynˆome caract´eristique de A. En utilisant le th´eor`eme de Cayley–Hamilton et la question c), montrer 2A2+bA= 0.
e) Sans justifier, donner toutes les r´eduites de Jordan possibles de A. On pourra se servir de b).
