M´ ethodes math´ ematiques pour la physique (examen du 13/06/2008)
Exercice 1. Consid´erons la fonction f(x) =|x+ 1| − |x−1|. Calculer df
dx et d2f
dx2 au sens des distributions (c’est-`a-dire, trouver (Tf)0 et (Tf)00).
Exercice 2. Consid´erons la fonction f(x) de p´eriode 2 d´efinie par f(x) = |x| pour −1< x≤1.
1. D´evelopper cette fonction en s´erie de Fourier.
2. Ecrire l’identit´e de Parseval correspondant `a cette s´erie de Fourier.
Exercice 3. En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de l’´equation diff´erentielle
x2y00(x)−2xy0(x) + 2y(x) = x3,
v´erifiant les conditions initiales y(0) = 0, y0(0) = 0. V´erifier le r´esultat.
Exercice 4. En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de la mˆeme ´equation diff´erentielle
x2y00(x)−2xy0(x) + 2y(x) = x3,
v´erifiant les conditions limites y0(−1) = 0, y(1) = 0. Expliquer pourquoi la m´ethode des fonctions de Green n’est pas appliquable aux conditions limites y0(0) = 0, y(1) = 0.
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