L3 SM UE604P Universit´e de Tours Ann´ee 2008-2009
M´ ethodes math´ ematiques pour la physique
15/05/2009 dur´ee de l’examen: 2h
1. On consid`ere une particule charg´ee en 2D dans un champ magn´etique uniforme orthogonal B.
Ce syst`eme est d´ecrit par l’hamiltonien Hˆ =−
∂2
∂ρ2 + 1 ρ
∂
∂ρ+ 1 ρ2
∂2
∂ϕ2 +iB ∂
∂ϕ −B2ρ2 4
.
• Montrer que ˆH commute avec l’op´erateur du moment angulaire ˆLz=−i ∂
∂ϕ.
• Montrer que l’´equation de Schroedinger radiale s’´ecrit comme d2
dρ2 + 1 ρ
d dρ −ν2
ρ2 −B2ρ2
4 −Bν+E
ψν(ρ) = 0, (1)
o`u ν etE notent respectivement la valeur propre de ˆLz et l’´energie.
• D´ecrire les comportements asymptotiques possibles des solutions de (1) lorsque ρ→0.
• D´ecrire les comportements asymptotiques possibles des solutions de (1) lorsque ρ→+∞.
2. On s’int´eresse aux fonctions propres communes des op´erateurs ˆL2 et ˆLz avec la valeur propre de Lˆ2 ´egale `a 2.
• Quelles sont les valeurs propres possibles de ˆLz?
• Donner la forme explicite de toutes ces fonctions.
3. Soient ˆzet ˆ∂ deux op´erateurs qui agissent sur les fonctions d’une variablezde la fa¸con suivante:
( ˆ∂f)(z) = df
dz(z), (ˆzf)(z) =zf(z).
Montrer (par exemple, par induction) que h
∂ˆk+1,zˆi
= (k+ 1) ˆ∂k.
