U.P.S. - Licence de math´ematiques fondamentales - TOPOLOGIE Partiel du 31 octobre 2007 (dur´ee : 2 heures)
Question de cours. SoitF une partie d’un espace m´etriqueE. D´emontrer que a) F est compl`ete⇒F est ferm´ee,
b) E est complet etF est ferm´ee⇒F est compl`ete.
Exercice 1. [Support d’une fonction continue]
(Les trois questions sont ind´ependantes). Soit S une partie d’un espace topologique E. On va comparer les trois propri´et´es suivantes :
i) S=
◦
S
ii) il existe un ouvert Ω tel queS= Ω
iii) il existe une fonction continue f :E→R dontS est le “support ferm´e”, c’est-`a-dire telle que S= Ωf, avec Ωf ={x∈E |f(x)6= 0}.
a) Montrer que i)⇔ii).
b) Montrer que iii)⇒ii).
c) Montrer que siE est m´etrisable : ii)⇒iii).
Exercice 2. [Prolongement k-lipschitzien]
Soient (X, d) un espace m´etrique, Y une partie non vide de X et f : Y → R une application k-lipschitzienne (i.e. telle que∀x, y∈Y,|f(x)−f(y)| ≤kd(x, y)). Pour toutx∈X ety ∈Y , on pose
fy(x) =f(y) +kd(x, y).
a) Montrer que pourx∈X fix´e, l’ensemble{fy(x)|y∈Y}est minor´e (parf(z)−kd(z, x), pour n’importe quelz∈Y). On noteg(x) la borne inf´erieure de cet ensemble.
b) V´erifier que lorsque x∈Y,g(x) =f(x).
c) Montrer queg:X →R estk-lipschitzienne.
d) D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’existence d’un prolongement continu def `aX ; montrer que siY est dense dansX, un tel prolongement est unique.
Exercice 3. [Parties de R4]
(M2(R) est identifi´e `a R4muni de sa topologie usuelle)
a) Montrer que l’ensembleGL2(R) des matrices inversibles est un ouvert dense deM2(R).
b) DansM2(R), dire pour chacun des deux ensembles suivants (en justifiant votre r´eponse) d’une part s’il est ouvert, d’autre part s’il est ferm´e :
A = l’ensemble des matrices ayant deux valeurs propres r´eelles strictement positives distinctes,
B= l’ensemble des matrices ayant deux valeurs propres r´eelles strictement positives.
c) DansGL2(R) (muni de la topologie induite), mˆeme question.
On v´erifiera au pr´ealable queAet Bsont inclus dans GL2(R).
Bar`eme indicatif : 4+5+5+6.
