Topologie des espaces métriques Licence de Mathématiques, 3ème année

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Topologie des espaces m´ etriques

Licence de Mathématiques, 3ème année

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Table des mati` eres

Chapitre 1. Nombres r´eels 5

Chapitre 2. Espaces m´etriques et espaces vectoriels norm´es 11

1. Distances et normes 11

2. Normes ´equivalentes ; distances Lipschitz-´equivalentes 19

3. Convergence, continuit´e 22

4. Application lin´eaires continues 29

5. Les isom´etries sont souvent lin´eaires 35

Chapitre 3. Vocabulaire topologique 37

1. Ouverts et ferm´es 37

2. Intérieur, adhérence, frontière 44

3. Sous-espaces et produits 49

4. Propriétés de “séparation” 51

5. Parties denses 54

6. Encore du vocabulaire 57

7. Rôle de la dénombrabilité 61

Chapitre 4. Compacit´e 67

1. Sous-suites et valeurs d’adh´erence 67

2. Espaces m´etriques compacts 70

3. Compacts emboˆıt´es 74

4. Compacit´e et continuit´e 75

5. Produits dénombrables ; procédé diagonal 83

6. Propri´et´e de Borel-Lebesgue 85

Chapitre 5. Connexit´e 91

1. Espaces m´etriques connexes 91

2. Connexit´e et applications continues 94

3. Connexit´e par arcs 97

4. Petites propriétés de stabilité 102

5. Composantes connexes 104

6. Espaces bien enchaˆın´es 107

Chapitre 6. Espaces complets 111

1. D´efinitions et exemples 111

2. Ferm´es emboˆıt´es 115

3. S´eries normalement convergentes 118

4. Prolongement des applications uniform´ement continues 120

5. Complété d’un espace métrique 123

6. Compl´etude et compacit´e 124

7. Espaces topologiquement complets 126

3

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4 Table des mati`eres

8. Th´eor`eme du point fixe 129

9. Th´eor`eme de Baire 132

Chapitre 7. L’espace de Cantor 137

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Chapitre 1

Nombres r´ eels

Tous les étudiants en mathématiques manipulent les nombres réels sans états d’âme ; et c’est très bien ainsi. Pourtant, il n’est pas si facile de répondre à la question

“qu’est-ce que c’est, un nombre r´eel ?”

`

a supposer que cette question ait véritablement un sens. Dans ce micro-chapitre, on donne une définition possible, sans trop entrer dans les détails ; puis, en se basant sur cette définition, on démontre les propriétés des nombres réels que chacun(e) est tenu(e) de connaˆıtre.

Même si on ne sait pas vraiment ce qu’est un nombre réel, on sait quand même bien que tout nombre réel positif xs’écrit sous la forme

x“ξ₀, ξ₁ξ₂ξ₃¨ ¨ ¨ ,

oùξ0PNest la “partie entière” dexetξ1, ξ2, ξ3, . . . sont les “chiffres après la virgule”, ξ_iPJ0,9K. Une telle écriture est unereprésentation décimale du nombre x.

Par exemple, une représentation décimale d’un nombre rationnel x“p{q s’obtient en effectuant la division euclidienne depparq : parfois “¸ca tombe juste” etx“p{qn’a alors qu’un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule ; mais parfois non, et il faut alors poursuivre la division à l’infini. Quand ¸ca ne tombe pas juste, le développement décimal n’est cependant pas quelconque : il est périodique à partir d’un certain rang (par exemple : 22{7“3,142857142857¨ ¨ ¨).

Certains nombres admettent 2 représentations décimales : ce sont les nombres décimaux, ceux qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule ; autrement dit, les nombres de la forme x“ξ0,000¨ ¨ ¨ avec ξ0 ‰0 (les entiers non nuls) ou x “ξ₀,¨ ¨ ¨ξ_N000¨ ¨ ¨ avec ξ_N ‰ 0. On sait bien en effet que ξ₀,000¨ ¨ ¨ “ pξ0´1q,999¨ ¨ ¨ (par exemple : 0,999¨ ¨ ¨ “1) etξ0,¨ ¨ ¨ξN000¨ ¨ ¨ “ξ0,¨ ¨ ¨ pξN´1q999¨ ¨ ¨ (par exemple : 13,46999¨ ¨ ¨ “ 13,47). Pour tous les autres nombres, la représentation décimale est unique.

Au vu de ce qui précède, il est tout à fait légitime de définir unnombre réel positif comme étant une suite pξ_iqiě0, où ξ₀ PN et lesξ_i pour iě1 sont des entiers compris entre 0 et 9 ; en convenant que certaines suites doivent être identifiés comme il a été dit. Au lieu de pξ_iqiě0, on continuera d’écrireξ₀, ξ₁ξ₂ξ₃¨ ¨ Ün nombre réel négatif est un nombre réel positif précédé d’un signe “´”. Enfin, unnombre réel est quelque chose qui est ou bien un nombre réel positif, ou bien un nombre réel négatif. On convient que 0,000¨ ¨ ¨ “ ´0,000¨ ¨ ¨, de sorte que 0 est le seul nombre réel à la fois positif et négatif.

Avec cette définition des nombres réels arrive tout de suite la notion assez importante de valeur absolue : la valeur absolue d’un nombre réelx, notée|x|, est le nombre réel positif qu’on obtient en enlevant son signe àx. Autrement dit,|a| “aet| á| “a pour tout nombre réel positifa.

5

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6 1. NOMBRES R ´EELS

Si x“ξ₀, ξ₁ξ₂ξ₃¨ ¨ ¨ etx¹ “ξ¹₀, ξ₁¹ξ₂¹ξ¹₃¨ ¨ ¨ sont deux nombres réels positifs tels que x‰x¹, on déclare quexăx¹ siξ_ipx,x¹_qăξ¹_ipx,x1q, oùipx, x¹qest le plus petit indiceitel que ξ_i ‰ ξ¹_i. C’est ce qu’on appelle l’ordre lexicographique, ou l’ordre du dictionnaire.

(Il faut vérifier que cela ne dépend pas de la représentation décimale sixoux¹ est décimal.) Cet ordre est total : entre deux nombres réels positifsxetx¹, il y en a toujours un qui est plus grand que l’autre (exo). Autres propriétés importantes : il n’y a pas de plus grand nombre réel positif ; et entre deux nombres réels positifsx etx¹ tels quexăx¹, on peut toujours en trouver un troisième (exos). L’ordre est étendu à l’ensemble de tous les nombres réels comme on l’imagine : tout nombre négatif est plus petit que tout nombre positif, et un nombre négatif´x est plus petit qu’un nombre négatif´x¹ si et seulement si xest plus grand quex¹. On peut alors envisager de représenter l’ensemble des nombres réels comme une ligne orientée de la gauche vers la droite où on a marqué une origine notée 0. Enfin, avec l’ordre viennent les intervalles (ouverts, fermés, semi- ouverts) : par exemple, si a, b sont des nombres réels, alors ra, br est l’ensemble des nombres réelsx tels queaďxăb.

On dit qu’une suitepx_nqde nombre réels positifsconverge vers un nombre réel posi- tifxs’il existe des représentations décimalesx“ξ0, ξ1ξ2ξ3¨ ¨ ¨ etxn“ξ0n, ξ1nξ2nξ3n¨ ¨ ¨ telles que : pour toutiě0, on aξ_in“ξ_i à partir d’un certain rangn_i. Par exemple, si x“ξ0, ξ1ξ2ξ3¨ ¨ ¨ est un nombre réel positif quelconque et si on posexn:“ξ0, ξ1¨ ¨ ¨ξn, alors la suite px_nqně1 converge versx. Un autre exemple : si on pose x_n :“0,99¨ ¨ ¨9 (n fois le chiffre 9), alors la suite pxnq converge vers 1. On étend la définition aux suites de nombres réels négatifs comme on l’imagine, puis aux suites quelconques en réfléchissant un peu. On peut alors montrer qu’une suite px_nq Ď R converge vers un nombre réel xsi et seulement si la chose suivante a lieu : pour tout intervalle ouvert I contenant x, on ax_nPI à partir d’un certain rang. Une conséquence importante est que les inégalités larges se conservent par passage à la limite : sipxnq converge vers x et si x_nďbpour toutnPN, alorsxďb(exo).

On est maintenant en mesure de démontrer à peu près rigoureusement tous les résultats de base concernant les nombres réels.

Théorème de la limite monotone. Toute suite de nombres réels croissante et majorée converge dans R. De même, toute suite décroissante et minorée converge.

Démonstration. Soit px_nqnPN une suite de nombres réels croissante et majorée.

Supposons que l’un des x_n, disons x_N, soit positif. Alors tous les x_n avec n ěN sont positifs puisque pxnq est croissante. PourněN, on peut donc ´ecrire

xn“ξ0n, ξ1nξ2nξ3n¨ ¨ ¨

Comme la suitepxnqest croissante, la suite des parties enti`eres pξ0nqest croissante ; et comme les ξ_0nsont des entiers, la suite pξ_0nq est doncstationnaire : il existe un indice n₀ et un entier ξ₀PNtel que

@něn₀ : ξ_0n“ξ₀.

De mˆeme, la suite pξ_1nqněn0 est croissante ; donc il existe un entier ξ₁ P J0,9K et un indice n1 ěn0 tels que @něn1 : ξ1n “ξ1. Et ainsi de suite : on voit apparaitre de proche en proche des entiers ξ₁, ξ₂, ξ₃, . . . et des indicesn₀ ďn₁ ďn₂ďn₃ tels que

@iě0@něni : ξin“ξi.

Par cons´equent, la suite pxnq converge vers le nombre r´eelx:“ξ0, ξ1ξ2ξ3¨ ¨ ¨

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1. NOMBRES R ´EELS 7

Si tous les x_n sont négatifs, alors on peut écrire x_n “ ´ξ_0n, ξ_1nξ_2nξ_3n¨ ¨ ¨, chaque suite pξinqnPN est décroissantes, et on peut raisonner comme précédemment.

Remarque. Le Théorème de la limite monotone permet de définir la somme et le produit de deux nombres réels positifs x “ ξ₀, ξ₁ξ₂ξ₃¨ ¨ ¨ et y “ η₀, η₁η₂η₃¨ ¨ ¨ : en notant xn:“ξ0, ξ1¨ ¨ ¨ξn et yn:“η0, η1¨ ¨ ¨ηn les “approximations décimales à l’ordre n” de xety, les suitespx_n`y_nqnPN etpx_ny_nqnPN sont croissantes et majorées, donc on peut poserx`y:“limpxn`ynqetxy :“limpxnynq. (La définition dexn`ynetxnynne pose pas de problème carxn et yn sont des nombres décimaux : on fait comme on a appris à l’école). Il faut cependant vérifier que cela ne dépend pas des représentations décimales de x ety. On montre également que les opérations sont commutatives, et compatibles avec l’ordre : si x, x¹, y, y¹ sont des nombres positifs tels que x ď x¹ et y ď y¹, alors x`yďx¹`y¹ etxy ďx¹y¹.

De même, si x est un nombre réel positif ‰0, on peut définir 1{x:“lim 1{xn car x_n ‰ 0 à partir d’un certain rang (donc 1{xn est un nombre rationnel bien défini) et la suite p1{x_nq est décroisante. Il faut quand même montrer que 1{x fait bien ce qu’on veut, à savoir quex¨ p1{xq “1. Pour cela, on écrit quexn¨ p1{xnq “1 pour toutně1.

Comme x ě x_n et 1{x ď 1{x_n, on en d´eduit x¨ p1{x_nq ě 1 et x_n¨ p1{xq ď 1 ; donc x¨ p1{xq ě1 etx¨ p1{xq ď1 par passage `a la limite, et donc x¨ p1{xq “1.

On peut également définir de cette fa¸con ladifférencede deux nombres réels positifs x “ ξ₀, ξ₁ξ₂¨ ¨ ¨ et y “ η₀, η₁η₂¨ ¨ ¨ tels que x ă y : en posant x_n :“ ξ₀, ξ₁¨ ¨ ¨ξ_n, le nombrey´xest la limite de la suitepy´x_nqně1, qui est décroissante et minorée par 0.

(La définition dey´xnne pose pas de problème carxn n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule : on fait à nouveau comme on a appris à l’école.) Comme pour 1{x, on montre que y´x fait bien ce qu’on veut – à savoir que x` py´xq “ y – en écrivant que x_n` py´x_nq “y pour toutně1.

Il faut ensuite définir la somme, le produit et l’inverse pour des nombres réels de signe quelconque et démontrer les propriétés qu’on est en droit d’attendre (structure de corps commutatif, compatibilité des opérations avec l’ordre) ; ce qui se fait mais n’est pas très palpitant.

Une fois tout cela terminé, on montre sans difficulté que la définition de la convergence d’une suite de nombres réels qu’on a donnée plus haut est équivalente à celle que tout le monde connait (ε etδ).

Théorème des segments emboités. Si pInqnPN est une suite décroissante d’intervalles fermés bornés de R, alors Ş

nPNI_n‰ H. Si de plus |I_n| Ñ0 quand nÑ 8, alors Ş

nPNIn est r´eduite `a 1 point.

Démonstration. Ecrivons´ I_n“ ra_n, b_ns. Comme les intervallesI_nforment une suite décroissante, on voit que la suitepanqest croissante et que la suitepbnqest décroissante.

De plus,pa_nqest majorée parb₀ etpb_nqest minorée para₀. Donc les suitespa_nqetpb_nq sont convergentes d’après le Théorème de la limite monotone,anÑaetbnÑb. On a a_nďaďbďb_n pour tout nPN; donc l’intervalle ra, bs est contenu dansŞ

nPNI_n, et en particulier Ş

nPNIn ‰ H. En fait Ş

nPNIn “ ra, bs, car si x PR vérifiean ďx ďb pour tout nPN, alors aďxďb par passage à la limite. Donc, si|I_n| “ b_ná_n Ñ0 alors Ş

nPNI_n est r´eduite `a 1 point, car a“b dans ce cas.

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8 1. NOMBRES R ´EELS

Propriété de la borne supérieure. Tout ensembleAĎRnon-vide et majoré possède une borne supérieure dans R. Tout ensemble non-vide et minoré possède une borne inférieure.

Démonstration. Soit A Ď R un ensemble non-vide et majoré. On veut montrer qu’il existe un plus petit nombre réel qui majore A. Pour cela, on va construire deux suites de nombres réelspa_nqnPN etpb_nqnPN telles que

r les suitespa_nqetpb_nqsontadjacentes:pa_nqest croissante,pb_nqest d´ecroissante, anďbn pour toutnPN, etbn´anÑ0 quand nÑ 8;

r anPAet bn est un majorant deA, pour toutnPN.

On commence par choisir a0PA et un nombreb0 PRmajorantA. On a donca0ďb0. Soit m le milieu de ra₀, b₀s. Si m est encore un majorant de A, on pose b₁ :“ m et a1 :“ a0; et si m n’est pas un majorant de A, on choisit a1 P A tel que a1 ą m et on pose b₁ :“ b₀. Dans un cas comme dans l’autre, on a a₀ ď a₁ ď b₁ ď b₀ et b₁ á₁ ď ¹₂pb₀á₀q. On répète ce raisonnement en rempla¸cant a₀ par a₁ et b₀ par b1, et on continue : on construit ainsi une suite croissantepanq d’éléments deA et une suite décroissantepb_nq de majorants deAtelles que b_ná_nď2^ńpb₀á₀q pour tout nPN.

D’après le Théorème de la limite monotone, les deux suites adjacentespa_nqetpb_nq convergent et ont la même limite, que l’on noteM. Comme les bn sont des majorants deAet queb_nÑM, le nombreM est un majorant deA(exo). SixPRvérifiexăM, alors on peut trouvernPNtel quexăa_năM puisquea_nÑM; et doncx n’est pas un majorant de A. Ainsi, M est bien le plus petit majorant deA.

Critère de Cauchy. Soit pu_kqkPN une suite de nombres réels. La suite pu_kq converge dans R si et seulement si |u_qú_p| Ñ0 quand p, qÑ 8.

Démonstration. Sipu_kqconverge, u_kÑaPR, alors|u_qú_p| Ñ0 quandp, qÑ 8 car |uqúp| ď |uqá| ` |aúp|.

Inversement, supposons que |u_q´u_p| Ñ0 quandp, qÑ 8. Alors la suitepu_kq est born´ee (exo). Donc, pournPN, on peut poser

an:“inftu_k; kěnu et bn:“suptu_k; kěnu.

Par définition, la suitepa_nqest croissante, la suitepb_nqest décroissante, eta_nďb_npour tout nPN. De plus, comme |uqúp| Ñ0 quand p, q Ñ 8, on voit que bnánÑ 0 quand n Ñ 8, car b_ná_n “ suptu_qú_p; p, q ě nu (exo). Donc les suites pa_nq et pbnq convergent et ont la même limite, que l’on noterau. Montrons queu_k Ñu. Étant donnéεą0, on peut trouverN PNtel queb_N á_N ďε. Commea_N ďu_kďb_N pour toutkěN et commeaN ďuďbN également, on a donc|ukú| ďbNáN ďεpour

tout kěN.

Théorème de Bolzano-Weierstrass. Toute suite bornée de nombres réels possède une sous-suite convergente.

Démonstration. Soit pukqkPN Ď R une suite bornée, et choisissons un intervalle fermé bornéI₀“ ra, bstel queu_kPI₀ pour toutkPN.

Notons m le milieu de ra, bs. Comme il y a une infinité d’entiers k, l’un des intervalles ra, ms ou rm, bs contient une infinité de termes de la suite pu_kq. On peut ainsi trouver un intervalle fermé borné I1 Ď I0 tel que |I1| “ ¹₂|I0| et uk P I1 pour une

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1. NOMBRES R ´EELS 9

infinité d’entiers k. En répétant ce raisonnement, on construit une suite décroissante pInqně0 d’intervalles fermés bornés telle que, pour tout n PN, l’intervalle In contient une infinité de termes de la suitepu_kq et|I_n| “2^ń|I₀|. On peut ensuite trouver une suite strictement croissante d’entiers pk_nqnPN telle que u_k_n P I_n pour tout nPN : on commence par choisir k0 tel que u_k₀ P I0, puis k1 ą k0 tel que u_k₁ P I1, ce qui est possible puisqu’il y a une infinité d’entiers k tels queu_kPI₁; et ainsi de suite.

Par le Théorème des segments emboˆıtés, il existe un et un seul pointaPRappar- tenant à tous les intervalles I_n. On a alors |u_k_n á| ď |I_n| pour tout nP N car a et ukn sont tous les deux dans In; donc la sous-suite puknqnPN converge vers a puisque

|I_n| Ñ0.

Exercice 1. Calculer 0,666¨ ¨ ¨ `0,444¨ ¨ ¨

Exercice 2. Utiliser le Théorème des segments emboˆıtés pour montrer queRn’est pas dénombrable.

Exercice 3. SoitI une partie deR. Montrer queI est un intervalle si et seulement si la chose suivante a lieu : quels que soientu, vPI tels que uăv, on asu, vr ĎI.

Exercice 4. Démontrer le critère de Cauchy en utilisant le Théorème de Bolzano- Weierstrass.

Exercice 5. Montrer que tout intervalle non trivialI ĎRcontient un point rationnel et un point irrationnel. (Pour montrer queI contient un rationnel, choisira, bPI tels que aăb et un entierqPN^˚ tel que ¹_q ăb´a, puis consid´erer le plus grand entierpPZ tel que ^p_q ăb.)

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Chapitre 2

Espaces m´ etriques et espaces vectoriels norm´ es

1. Distances et normes

1.1. Distances, espaces métriques. Etant donn´´ e deux objets mathématiques u etv de même nature (deux nombres, deux matrices, deux fonctions, ...), il est très naturel de se demander si u et v sont “proches” ou “éloignés” l’un de l’autre en un certain sens, et de vouloir mesurer leur degré de proximité par un nombredpu, vqqu’on appellerait la “distance entreuetv”. Cela conduit à la définition très générale suivante.

Définition 1.1. SoitE un ensemble non-vide. Unedistancesur E est une fonction d:EÊÑR vérifiant les propriétés suivantes :

(o) dpu, vq ě0 pour tous u, vPE, etdpu, uq “0;

(i) dpu, vq “0 seulement pouru“v (s´eparation des points); (ii) dpu, vq “dpv, uq pour tous u, vPE (sym´etrie);

(iii) dpu, wq ďdpu, vq `dpv, wq pour tous u, v, wPE (in´egalit´e triangulaire).

Exemple 1. On d´efinit une distance sur R en posant dpu, vq :“ |v´u|. Cette distance s’appelle la distance usuelle surR.

Démonstration. La propriété (o) est évidente. La séparation des points (i) vient du fait que |x| “ 0 seulement pour x “ 0. La symétrie vient du fait que |x| “ |´x|

pour tout x P R : dpv, uq “ |u´v| “ |´pvúq| “ |vú| “ dpu, vq. Et l’inégalité triangulaire vient du fait que|x`y| ď |x| ` |y|pour tousx, yPR:dpu, wq “ |wú| “

|pw´vq ` pvúq| ď |vú| ` |vú| “dpu, vq `dpv, wq.

Exercice. Soit E un ensemble quelconque, et soit φ :E Ñ R. `A quelle condition sur φd´efinit-on une distance sur E en posant dpu, vq:“ |φpvq ´φpuq|?

Exemple 2. Soit E un plan euclidien, par exemple E :“ R² muni du produit scalaire usuel. On définit une distance surE en notantdpu, vq la longueur du segment ru, vs. L’inégalité triangulaire pour cette distance signifie que “le plus court chemin entre deux points est la ligne droite”.

Exemple 2¹. On définit une distance surCen posantdpu, vq:“ |vú|, où|z|est le module du nombre complexe z. Cette distance s’appelle la distance usuelle sur C.

D´emonstration. En identifiant C`a R², c’est la distance de l’Exemple 2.

Exemple 3. Soit E :“ T “:tz P C; |z| “ 1u. On d´efinit une distance sur T en notant dpu, vq la longueur du plus petit arc de cercle joignantu etv.

D´emonstration. Exo.

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12 2. ESPACES M ´ETRIQUES ET ESPACES VECTORIELS NORM ´ES

Exemple 4. Soit E un ensemble quelconque (non-vide). On d´efinit une distance sur E en posant

dpu, vq:“

"

0 si u“v 1 si u“v On dit que dest ladistance discr`etesurE.

Démonstration. Seule l’inégalité triangulaire demande une preuve ; soient donc u, v, w P E. Si u “ w, alors dpu, wq “ 0 ď dpu, vq `dpv, wq. Si u ‰ w, alors ou bien u ‰ v et donc dpu, vq “ 1, ou bien v ‰ w et donc dpv, wq “ 1. Dans les 2 cas, dpu, wq “1ďmax`

dpu, vq, dpv, wq˘

ďdpu, vq `dpv, wq.

Remarque 1. La distance discrète est importante car elle fournit souvent un contre- exemple facile lorsqu’on se demande si une propriété générale est vraie pour n’importe quelle distance.

Remarque 2. La démonstration précédente a montré que distance discrète vérifie une forme “renforcée” de l’inégalité triangulaire : pour tousu, v, wPE, on a

dpu, wq ďmax`

dpu, vq, dpv, wq˘ .

De fa¸con générale, une distance dvérifiant cette propriété est diteultramétrique Exercice 1.2. Soit C :“ t0,1u^N, l’ensemble de toutes les suites de 0 et de 1.

Montrer qu’on définit une distance ultramétrique sur C en posant dpu, uq :“ 0 et, pour u“ puiqiě0 etv“ pviqiě0 différents,dpu, vq:“2^ípu,vq, oùipu, vqest le plus petit indice itel queu_i ‰v_i.

Exemple 5. Soit E l’ensemble des stations de métro d’une grande ville non spécifiée. On définit une distance sur E en notant dpu, vq la longueur du plus court trajet en métro pour aller deu à v (longueur mesurée en “nombre d’arrêts”).

D´emonstration. C’est un exofacile.

La remarque suivante est tr`es souvent utile.

Remarque 1.3. Si d est une distance sur un ensemble E, alors on a pour tous u, v, w PE :

dpu, vq ěˇ

ˇdpu, wq ´dpw, vqˇ ˇ.

Cette inégalité est parfois appelée l’inégalité triangulaire réarrangée.

Démonstration. On a dpu, wq ´ dpw, vq “ dpu, wq ´dpv, wq ď dpu, vq d’après l’inégalité triangulaire ; et échangeant les rôles de uetv, on obtientdpv, wq ´dpw, uq ď

dpv, uq “dpu, vq. D’o`u le r´esultat.

D´efinition 1.4. Un espace m´etrique est un ensemble non-vide E muni d’une distance d.

Convention. “Par défaut”, toutes les distances s’appellerontd, même quand on considérera plusieurs espaces métriques E, F, G, . . . en même temps. S’il y a vraiment lieu de distinguer les distances sur des espaces métriques différents, on écrira par exemple dE, dF, dG, . . .

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1. DISTANCES ET NORMES 13

1.2. Normes, espaces vectoriels norm´es.

Définition1.5. SoitEun espace vectoriel surK“RouC. UnenormesurE est une fonction de E dansR, notée en généraluÞÑ }u}, vérifiant les propriétés suivantes.

(o) }u} ě0 pour tout uPE, et }0} “0; (i) }u} “0 seulementpour u“0;

(ii) }λu} “ |λ| }u} pour tout uPE et toutλPK(homogénéité); (iii) }u`v} ď }u} ` }v}pour tous u, vPE (inégalité triangulaire).

Il y a une similarité évidente entre la définition d’une norme et celle d’une distance.

Le lien entre les deux notions est donn´e par le fait suivant.

Fait 1.6. Si } ¨ }est une norme sur un espace vectoriel E, on définit une distance sur E en posantdpu, vq:“ }vú}. On dit quedest ladistance associée à la norme } ¨ }.

Démonstration. C’est exactement la même que celle donnée pour la distance usuelle dpu, vq “ |vú| sur R. (Pour la symétrie de d, on n’a pas besoin de toute la force de la propriété d’homogénéité (ii) : il suffit de savoir que} ú} “ }u}pour toutuPE.) Exercice. Soitdune distance sur un espace vectorielE. Montrer quedest associée

`

a une norme si et seulement si elle vérifie les propriétés suivantes :

r dpu`h, v`hq “dpu, vq pour tousu, v, hPE (invariance par translations) ; r dpλu, λvq “ |λ|dpu, vqpour tous u, vPE et tout λPK(homogénéité).

Exemple 1. La valeur absolue est une norme sur R, et le module est une norme sur C. Les distances associ´ees sont les distances usuelles.

Exemple 2. Si E est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire x , y, on d´efinit une norme surE en posant }u}:“a

xu, uy. Outre la définition, la norme et le produit scalaire sont liés par l’inégalité de Cauchy-Schwarz:

|xu, vy| ď }u} }v} pour tous u, vPE.

Démonstration. Les propriétés (o), (i) et (ii) sont à peu près évidentes.

L’inégalité triangulaire découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : siu, vPE, alors }u`v}² “ }u}²`2 Re`

xu, vy˘

` }v}² ď }u}²`2ˇ

ˇxu, vyˇ ˇ` }v}²

ď }u}²`2}u} }v} ` }v}² par Cauchy-Schwarz

“ `

}u} ` }v}˘₂

; donc }u`v} ď }u} ` }v}.

Démontrons maintenant l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Soient u, v PE. Si v“0, l’inégalité est évidente ; on suppose donc quev‰0. Si on pose

p:“

A u, v

}v}

E v

}v} “ xu, vy }v}² v,

on voit (exo) que xp, vy “ xu, vy. Donc xu´p, vy “ 0, i.e. u´p est orthogonal `a v.

(Le vecteurpest leprojeté orthogonal deusur l’espace vectoriel engendré parv). Comme p est colinéaire à v, on a donc xu´p, py “ 0. En développant }u}² “ }pu´pq `p}² “

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xpu´pq `p,pu´pq `py, on en déduit que }u}² “ }u´p}²` }p}² (c’est leThéorème de Pythagore...). En particulier}u} ě }p}, autrement dit

›

› xu, vy

}v}² v

›

›ď }u}.

Par homogénéité, cela s’écrit encore ^|xu,vy|_}v}2 }v} ď }u}; d’où |xu, vy| ď }u} }v}.

Exemple 2¹. La norme sur R^N associ´ee au produit scalaire usuel s’appelle la norme euclidienne surR^N, et se note } ¨ }2. Siu“ pu₁, . . . , u_Nq PR^N, alors

}u}₂ “

˜ _N ÿ

j“1

u²_j

¸1{2

.

SiN “2, la norme euclidienne d´efinit la distance usuelle sur le plan euclidien R². Exemple 3. On d´efinit des normes surK^N en posant, pouru“ pu1, . . . , uNq PK^N :

}u}₁ :“

N

ÿ

j“1

|u_j| et }u}₈:“max`

|u₁|, . . . ,|u_N|˘ .

Démonstration. C’est un exoà savoir faire instantanément.

Exemple 4. Soit I un ensemble quelconque. On note `⁸pI,Kq, ou simplement

`⁸pIq, l’espace vectoriel constitué par toutes les fonctions bornées u : I Ñ K. On définit une norme sur`⁸pIq en posant

}u}₈ :“sup |uptq|; tPI( .

Démonstration. C’est à nouveau unexoà savoir faire les yeux fermés. (Etre un peu^ˆ

soigneux pour l’in´egalit´e triangulaire.)

Remarque. Les cas particuliers suivants sont importants :

r siI “J1, NK, alors`⁸pIqs’identifie `aK^N (une fonctionu:J1, NKÑKs’identifie au vecteur pup1q, . . . , upNqq P K^N), et }u}₈ “ max`

|u₁|, . . . ,|u_N|˘

pour u “ pu₁, . . . , u_Nq PK^N;

r si I “N, alors`⁸pIq est l’ensemble de toutes les suites born´ees u“ punqnPN

d’´el´ements de K; et pour u“ pu_nq P`⁸pNq on a}u}₈“sup

nPN

|u_n|.

Exemple 5. Si E est un espace vectoriel non réduit à t0u, la distance discrète sur E n’est pas associée à une norme.

Démonstration. Notons d la distance discrète sur E. Soit e un vecteur non nul de E. Alorsdpe,0q “1, et aussidp2e,0q “1 puisque 2e‰0 ; mais si détait associée à une norme } ¨ }, on devrait avoirdp2e,0q “ }2e´0} “ }2e} “2}e} “2dpe,0q “2.

Les deux in´egalit´es suivantes sont importantes.

Remarque 1. Si } ¨ } est une norme sur un espace vectoriel E, alors on a pour tous u, vPE :

}u´v} ď }u} ` }v} et }v´u} ěˇ

ˇ}v} ´ }u}ˇ ˇ.

(15)

Démonstration. En notant d la distance associée à } ¨ }, la première inégalité est simplement l’inégalité triangulaire dpv, uq “dpu, vq ďdpu,0q `dp0, vq; et la deuxième est l’inégalité triangulaire réarrangéedpu, vq ěˇ

ˇdpu,0q ´dp0, vqˇ

ˇ.

Il est ´egalement tr`es important de retenir qu’on peut toujours “normaliser” un vecteur non nul de E :

Remarque 2. Si} ¨ }est une norme sur E, on a pour tout u‰0 dans E :

›

› u }u}

›

›“1.

Définition 1.7. Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel E muni d’une norme } ¨ }. On écrira souvent “evn” au lieu de “espace vectoriel normé”.

Remarque. Un espace vectoriel normé sera toujours implicitement muni de la distance associée à sa norme. Un evn est donc en particulier un espace métrique !

Convention. “Par défaut”, toutes les normes s’appelleront } ¨ }; et s’il y a lieu de différencier explicitement les normes sur des evnE, F, G, . . ., on écrira par exemple } ¨ }E ,} ¨ }F ,} ¨ }G ,. . .

1.3. Sous-espaces et produits. Les remarques qui suivent sont `a peu pr`es

´

evidentes, mais cependant tr`es importantes.

Remarque 1. Si pE, dq est un espace métrique et si A Ď E, alors la restriction de dà AÂ est une distance sur A, qu’on appelle la distanceinduite par dsur A.

Donc, Aest lui mˆeme un espace m´etrique pour son propre compte.

Remarque 1¹. De même, si E est un espace vectoriel normé, alors tout sous- espace vectoriel F Ď E devient un espace vectoriel normé lorsqu’on le munit de la norme induite par celle de E

Exemple. Soit ra, bsun segment de R, avecaăb. Notons Cpra, bsq l’ensemble des fonctionscontinues u:ra, bs ÑK. Comme toute fonction continue surra, bsestborn´ee, Cpra, bsq est un sous-espace vectoriel de `⁸pra, bsq, et donc un espace vectoriel norm´e quand on le munit de la norme } ¨ }8.

Remarque 2. SoientpE₁,} ¨ }E1q, . . . ,pE_N,} ¨ }ENqdes espaces vectoriels norm´es, et soit E :“ E1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ EN. On d´efinit une norme sur E en posant, pour u “

`up1q, . . . , upNq˘

PE“E₁ˆ ¨ ¨ ¨ ˆE_N : }u}:“max`

}up1q}E1, . . . ,}upNq}En

˘.

On dit que cette norme est lanorme produitassoci´ee aux normes} ¨ }E1, . . . ,} ¨ }EN. Exemple. La norme produit surR^N “Rˆ ¨ ¨ ¨ ˆRest la norme } ¨ }8.

Remarque 2¹. De même, sipE1, d1q, . . . ,pEN, dNq sont des espaces métriques, on définit une distance sur E :“ E₁ˆ ¨ ¨ ¨ Ê_N en posant pour u “ pup1q, . . . , upNqq et v “ pvp1q, . . . , vpNqqdansE :

dpu, vq:“max`

d₁pup1q, vp1qq, . . . , d_NpupNq, vpNqq˘ .

Cette distance est la distance produit associ´ee aux distances d1, . . . , dN. Si les Ei

sont des espaces vectoriels et si les distancesd_iproviennent de normes, alorsdprovient de la norme produit associ´ee.

(16)

Convention. Chaque fois qu’on manipulera un produit d’espaces m´etriques ou d’evn, on supposera implicitement qu’il est muni de la distance produit ou de la norme produit.

1.4. Vocabulaire géométrique. Dans ce qui suit,pE, dqest un espace métrique.

(1) Si aPE etrě0, on pose

Bpa, rq:“ tuPE; dpu, aq ăru et Bpa, rq:“ tuPE; dpu, aq ďru.

On dit queBpa, rqest la boule ouverte de centreaet de rayonr, et queBpa, rq est la boule ferm´ee de centreaet de rayon r.

Remarque. Le casr“0 est un peu particulier : on aBpa,0q “ HetBpa,0q “ tau.

Exemple 1. Si E “ R muni de la distance usuelle, alors Bpa, rq est l’intervalle ouvert sa´r, a`rr, etBpa, rq est l’intervalle ferm´e ra´r, a`rs.

Exemple 2. Si E “ C muni de la distance usuelle, alors Bpa, rq et Bpa, rq sont des disques centrés en aet de rayonr. Plus précisément, Bpa, rq est le disque sans sa circonférence, et Bpa, rq est le disque avec sa circonférence.

Exercice. Dessiner la boule Bp0, rq dans E “R² muni de la norme } ¨ }8. Mˆeme question avec la norme } ¨ }1.

(2) Si A est une partie non-vide deE, on pose pour tout xPE : distpx, Aq:“inftdpx, uq; uPAu.

On dit que distpx, Aq est la distance de x `a l’ensemble A.

Remarque 1. Il est évident que sixPA, alors distpx, Aq “0 (prendreu:“x) ; mais la réciproque est fausse en général.

Remarque 2. La distance dexn’est pas n´ecessairement “atteinte” : il n’y a aucune raison a priori pour qu’il existe un point aPA tel que distpx, Aq “dpx, aq.

Exemple. Dans E“R, on a dist`

2,s´1,1r˘

“1 et dist`

1,s´1,1r˘

“0. Dans les 2 cas, la distance n’est pas atteinte.

(3) Pour toute partie non-videA de E, on pose

diampAq:“sup dpu, vq; u, vPA( .

On dit que diampAq est lediamètre de l’ensemble A. La borne supérieure est ici prise dansr0,8s : on peut très bien avoir diampAq “ 8. Moralement, diampAqest “la plus grande distance possible entre deux points deA” ; mais cette plus grande distance peut très bien ne pas exister.

Exemple 1. Prenons pourE un plan euclidien. SiA est un disque de rayonr, alors diampAq “2r. SiAĎE est un carré de côté a, alors diampAq “?

2a.

Exemple 2. DansE “R, on a diam`

s´2,3r˘

“5 et diam` s0,8r˘

“ 8.

Exercice. Montrer que pour tout ensemble non-vide AĎR, on a diampAq “supA´infA.

(Avec les conventions ´evidentes lorsque supA“ 8ou infA“ ´8.)

(17)

(4) Supposons queE soit un espace vectoriel norm´e. On dit qu’un ensembleAĎE est born´es’il existe une constanteM ă 8telle que @uPA : }u} ďM.

Exercice 1. Montrer les ´equivalences suivantes :

Aborn´e ðñ diampAq ă 8 ðñ Aest contenu dans une boule.

Remarque. L’intérêt du résultat de cet exercice est qu’il permet de définir les ensembles bornés dans un espace métriquepE, dq quelconque : un ensembleAĎE peut ˆ

etre déclaré borné si diampAq ă 8. Cependant, on ne parlera jamais d’ensembles bornés dans un espace métrique qui n’est pas un evn.

Exercice 2. Une application u : I Ñ F d’un ensemble I dans un evn F est dite bornéesi l’ensembleupIqest borné dansF; autrement dit s’il existe une constanteM telle que@tPI : }uptq} ďM. L’ensemble de toutes les applications bornéesu:I ÑF se note `⁸pI, Fq. Montrer que `⁸pI, Fq est un espace vectoriel, et qu’on définit une norme sur `⁸pI, Fqen posant }u}₈:“supt}uptq}; tPIu.

1.5. Isom´etries.

Définition 1.8. Soient pE, dq et pE¹, d¹q deux espaces métriques. On dit qu’une application f :E ÑE¹ est une isométrie si elle préserve les distances :

d¹`

fpuq, fpvq˘

“dpu, vq pour tous u, vPE.

Exemple 1. Dans un plan euclidien, les translations, les rotations et les sym´etries orthogonales sont des isom´etries.

Exemple 2. L’injection canonique deRdansCest une isom´etrie (pour les distances usuelles).

Exemple 3. L’application f :R Ñ R² d´efinie par fpxq “ px,0q est une isom´etrie de R dansR² muni de la norme } ¨ }8.

Exercice. Soient E et F deux espaces vectoriels normés, et soit T :E ÑF une application linéaire. Montrer que T est une isométrie si et seulement si}Tpxq} “ }x}

pour tout xPE.

Remarque 1. Une isom´etrie est toujours injective (mais elle n’a pas de raison d’ˆetre surjective).

D´emonstration. C’est ´evident : si fpuq “ fpvq, alors dpu, vq “ d¹pfpuq, fpvqq “ 0

et donc u“v.

Remarque 2. Sif :E ÑE¹ est une isom´etriebijective, alorsf^´1:E¹ÑE est aussi une isom´etrie.

D´emonstration. C’est un exotr`es facile.

Définition 1.9. On dit que deux espaces métriques E et E¹ sont isométriques s’il existe une isométrie bijective entreE etE¹; autrement dit, siE et E¹ sont “indis- tinguables” en tant qu’espaces métriques.

Exemple 1. R² muni de la distance euclidienne est isométrique à C muni de la distance usuelle,via l’application px, yq ÞÑxìy.

(18)

Exemple 2. Rmuni de la distance usuelle est isométrique à tpx,0q; x PRu ĎR² muni de la distance associée à la norme } ¨ }8,via l’application xÞÑ px,0q.

Exemple 3. Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie N sur K“ R ou C, alorsE est linéairement isométrique à K^N muni d’une certaine norme.

Démonstration. Soit J : E Ñ K^N un isomorphisme linéaire. Alors la formule }x}_J :“ }J^´1pxq}définit une norme surK^N (exo) ; et par définition,J est une isométrie

(lin´eaire !) de E surpK^N,} ¨ }Jq.

Le résultat suivant est a priori surprenant ; et il est “philosophiquement” très intéressant car il signifie que les espaces vectoriels normés ne sont d’une certaine fa¸con pas moins généraux que les espaces métriques généraux.

Théorème 1.10. Tout espace métrique est isométrique à une partie d’un espace vectoriel normé ; plus précisément, à une partie d’un espace`⁸pIq.

Démonstration. Soit pE, dq un espace métrique quelconque. On va montrer que pE, dqest isométrique à une partie de `⁸pEq.

Fixons un point aPE. Pour uPE, on notera Φ_u:E ÑRla fonction d´efinie par Φupxq:“dpu, xq ´dpx, aq.

Fait 1. Toutes les fonctions Φ_u sontborn´ees.

Preuve du Fait 1. Fixons u P E. D’après l’inégalité triangulaire réarrangée, on a

|Φupxq| “ |dpu, xq ´dpx, aq| ď dpa, uq pour tout x P E; donc Φu est born´ee avec

}Φ_u}8ďdpa, uq.

Par le Fait 1, on peut d´efinir une applicationf :EÑ`⁸pEq par fpuq:“Φu.

Fait 2. L’applicationf est une isom´etrie depE, dq dans`⁸pEq.

Preuve du Fait 2. Il s’agit de montrer que pour tousu, vPE, on a }Φv´Φu}8“dpu, vq.

SixPE, alors ˇ

ˇΦvpxq ´Φupxqˇ ˇ “

ˇ ˇ ˇ

`dpv, xq ´dpx, aq˘

´`

dpu, xq ´dpx, aq˘ˇ ˇ ˇ

“ ˇ

ˇdpv, xq ´dpx, uqˇ ˇ ď dpu, vq.

Ceci ´etant vrai pour toutxPE, on en d´eduit }Φ_v´Φ_u}8ďdpu, vq.

Inversement, on a }Φv´Φu}8ěΦvpuq ´Φupuq “dpv, uq ´dpu, uq “dpu, vq. D’o`u

finalement }Φ_v´Φ_u}8“dpu, vq.

Par le Fait 2, la preuve du théorème est maintenant terminée : si on pose Er :“

fpEq “ tΦu; uPEu Ď`⁸pEq, alors E est isom´etrique `aE.r

(19)

2. NORMES ´EQUIVALENTES ; DISTANCES LIPSCHITZ- ´EQUIVALENTES 19

2. Normes ´equivalentes ; distances Lipschitz-´equivalentes

D´efinition 2.1. Soit E un espace vectoriel sur K “ R ou C. On dit que deux normes } ¨ } et } ¨ } sur E sont ´equivalentes s’il existe deux constantes C, C¹ ă 8 telles que }x} ďC}x}¹ et }x}¹ďC¹}x}pour tout xPE.

Remarque. Comme le nom le suggère fortement, la relation “être équivalentes” est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes sur E. (La preuve est laissée en exo.)

Exemple 1. SurR^N, les normes} ¨ }1,} ¨ }2 et} ¨ }8 sont ´equivalentes.

D´emonstration. Soit u“ pu₁, . . . , u_Nq PR^N. On a

|uj| “ pu²_jq^1{2 ď`

u²₁` ¨ ¨ ¨ `u²_Nq^1{2“ }u}2

pour tout jPJ1, NK, donc}u}₈ď }u}₂. De plus, }u}²₁ “

˜_N ÿ

j“1

|uj|

¸2

“

N

ÿ

j“1

u²_j` ÿ

tpk,k¹q;k‰k¹u

|uk| |uk¹| ě

N

ÿ

j“1

u²_j “ }u}²₂; donc }u}1ě }u}2. Enfin,}u}1 “ř_N

j“1|uj| ďN}u}8.

Ainsi, on a obtenu }u}₈ ď }u}₂ ď }u}₁ ď N}u}₈ pour tout u P R^N; d’o`u

l’´equivalence des trois normes.

Exemple 2. Soit } ¨ }1 la norme sur E :“Cpra, bsq d´efinie par }u}₁ :“ ş_b

a|uptq|dt.

(V´erifier qu’il s’agit bien d’une norme.) On a} ¨ }1 ď pb´aq } ¨ }8, mais les normes} ¨ }1

et } ¨ }8 ne sont pas ´equivalentes.

Démonstration. L’inégalité} ¨ }1 ď pbáq } ¨ }8 est laissée en exo (très facile).

Notonsm le milieu de l’intervallera, bs. Pour kPNassez grand, soit u_kPCpra, bsq la fonction d´efinie comme suit :u_k est nulle en dehors de rm´¹_k, m` ¹_ks,u_kpmq “k et u_k est affine sur les intervallesrm´ ¹_k, mset rm, m` ¹_ks. (Dessiner le graphe deu_k.) On a }uk}8 “k, et }uk}1 “ ¹₂ ˆ ²_kˆk“1. Ainsi, on a trouv´e une suite de fonctions pu_kq telle que }u_k}1 “ 1 pour tout k et }u_k}8 Ñ 8; ce qui montre qu’il ne peut pas exister de constante C telle que } ¨ }8 ďC} ¨ }1. Exercice. Soit E un espace vectoriel, et soient } ¨ } et } ¨ }¹ deux normes sur E.

Montrer que si } ¨ } et} ¨ }¹ ne sont pas ´equivalentes, alors ou bien il existe une suite pu_kq ĎE telle que }u_k} Ñ0 et }u_k}¹ Ñ 8, ou bien il existe une suite pu_kq ĎE telle que }u_k} Ñ 8et}u_k}¹Ñ0.

Le résultat suivant est très important et très facile à utiliser. La preuve, en revanche, est un peu délicate.

Théorème 2.2. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les normes sur E sont équivalentes.

Démonstration. Dans ce qui suit, on supposera que E ‰ t0u (il n’y a rien à démontrer siE“ t0u). On commence par se simplifier un peu la vie :

Fait 0. Il suffit de montrer que toutes les normes surR^N,N ě1 sont ´equivalentes.

(20)

Preuve du Fait 0. En tant queR-espace vectoriel, E est isomorphe à R^N pour un certain entier N ě 1. Si on fixe un isomorphisme R-linéaire J : E Ñ R^N, alors à toute norme } ¨ } sur E correspond une norme } ¨ }J sur R^N, donnée par la formule }u}_J :“ }J^´1puq}. On a ainsi }x} “ }Jpxq}_J; donc il est clair que si } ¨ } et} ¨ }¹ sont deux normes surE et si les normes} ¨ }J et} ¨ }¹_J sont équivalentes, alors} ¨ }et} ¨ }¹

sont ´equivalentes. Ceci d´emontre le Fait.

On va maintenant montrer que toutes les normes sur R^N sont ´equivalentes `a la norme } ¨ }8.

Fait 1. Si } ¨ } est une norme sur R^N, il existe une constante C ă 8 telle que } ¨ } ďC} ¨ }8.

Preuve du Fait 1. Si u “ pu1, . . . , u_Nq P R^N et si on note pe1, . . . , e_Nq la base canonique de R^N, alors

}u} “

›

N

ÿ

j“1

ujej

›

ď

N

ÿ

j“1

}u_je_j}

“

N

ÿ

j“1

|uj| }ej} ď }u}₈ˆ

N

ÿ

j“1

}ej},

puisque |u_j| ď }u}₈ pour tout j. On obtient donc le r´esultat souhait´e avec C :“

ř_N

j“1}e_j}(qui est bien une constante ind´ependante deuPR^N).

Fait 2. Si } ¨ } est une norme sur R^N, il existe une constante c ą 0 telle que } ¨ } ěc} ¨ }8.

Preuve du Fait 2. C’est la partie “difficile”. On va proc´eder par r´ecurrence sur la dimension N.

Pour N “ 1, ce n’est pas compliqu´e : si } ¨ } est une norme sur R¹ “ R, alors }u} “ }uˆ1} “ |u| ˆ }1} “c}u}8 pour toutu PR¹, o`u c:“ }1} est bienstrictement positif car 1‰0.

Supposons le r´esultat vrai pour un certainN ě1, et d´emontrons le pourN`1. Soit donc} ¨ }une norme surR^N`1. On va raisonner par l’absurde en supposant qu’iln’existe pas de constante cą0 telle que } ¨ } ěc} ¨ }8. Il s’agit d’obtenir une contradiction.

Dans ce qui suit, on ´ecrira les vecteurs deR^N`1 sous la formeu“`

up1q, . . . , upN`1q˘ . Etape 1.´ On peut trouver une suite pv_kq ĎR^N`1 et un indice j₀ PJ1, N`1Ktels que v_kpj₀q “1 pour tout ket}v_k} Ñ0 quandkÑ 8.

Démonstration. Par hypothèse, on peut pour tout c ą0 trouver un vecteur u^c P R^N^`1tel que}u^c} ăc}u^c}8. On a}u^c}8‰0 (d’après l’inégalité stricte), donc on peut définirv^c:“ _}uûc^c}8 Älors}v^c}8 “1 et

}v^c} “ 1 }u^c}8

ˆ }u^c} ăc.

En prenant c :“ 1{k pour tout k P N^˚ et en posant v_k :“v^1{k, on obtient ainsi une suite pvkq ĎR^N`1 telle que }vk}8“1 pour tout k et}vk} Ñ0.

(21)

2. NORMES ´EQUIVALENTES ; DISTANCES LIPSCHITZ- ´EQUIVALENTES 21

Par définition de} ¨ }8, on peut choisir pour toutkPN^˚ un indicei_kPJ1, N`1K tel que |vkpikq| “ }vk}8 “1. Comme il y a une infinité d’entiers k et un nombre fini d’indices iPJ1, N `1K, il existe au moins unj₀ PJ1, N `1Ktel que i_k “j₀ pour une infinité de k. Il existe donc une sous-suitepv_k¹q depv_kq telle que |v_k¹pj₀q| “1 pour tout k, autrement dit v¹_kpj0q “ ˘1. De même, il y a une infinité de k tels que v_k¹pj0q “1, ou bien une infinité de k tels que v¹_kpj₀q “ ´1. Quitte à changer v_k¹ en ´v_k, on peut supposer qu’on est dans le premier cas. On obtient donc une sous-suitepv_k²qdepv_k¹q(et donc une sous-suite de pv_kq) telle quev_k²pj₀q “1 pour toutk. On change alors le nom de

v_k², qu’on appelle `a nouveauvk.

Etape 2.´ Il existe un vecteur vPR^N^`1 tel quev‰0 et }v_k´v}₈Ñ0.

D´emonstration. Le point cl´e est le suivant : si p, q P N, alors pvq´vpqpj0q “ 0.

Donc, on peut consid´erer les v_q´v_p comme des vecteur de R^N en identifiant R^N au sous-espace

E_j₀ :“ uPR^N^`1; upj₀q “0(

ĎR^N`1,

qui est de dimension N. Par hypothèse de récurrence, il existe une constante c¹ ą 0 telle que }u} ěc¹}u}₈ pour toutuPEj0. En prenantu:“vq´vp, on en déduit qu’on a

|vqpjq ´vppjq| ď p1{c¹q }vq´vp} ď p1{c¹q`

}vq} ` }vp}˘

pour tous p, q PN et pour tout j ‰j0. Comme }vp} ` }vq} Ñ0 quand p, q Ñ 8, on voit ainsi que pour tout j ‰ j₀, la suite de nombres réels pv_kpjqq_kP_N vérifie le critère de Cauchy, et donc est convergente. Pour chaquej‰j0, il existe ainsi un nombre réel vpjq tel quev_kpjq Ñvpjq quandkÑ 8.

Si maintenant on pose v “ `

vp1q, . . . ,1, . . . vpN `1q˘

P R^N^`1, où le “1” est à la place j₀, alorsv_kpjq Ñvpjqpour tout j PJ1, N`1Kpuisquev_kpj₀q ”1. Par définition de la norme } ¨ }8, cela entraine que }vk´v}8 Ñ 0 (exo) ; et on a v ‰ 0 puisque

vpj₀q “1.

On peut maintenant obtenir la contradiction cherch´ee. Comme } ¨ } ď C} ¨ }8

pour une certaine constante C (d’après l’étape 1) et comme }vk´v}8 Ñ 0, on voit que }v_k´v} Ñ0. Comme de plus}v} ď }v´v_k} ` }v_k}et que}v_k} Ñ0, on en déduit }v} ď0 en faisant tendre k vers l’infini ; donc }v} “0. Mais ceci est absurde puisque } ¨ } est une norme etv‰0. Ainsi, on a bien montré le Fait 2 par récurrence.

Par les Faits 1 et 2, la preuve du théorème est maintenant terminée.

Remarque. Le Théorème 2.2caractérise les espaces de dimension finie : si E est un espace vectoriel de dimension infinie, alors il existe des normes non équivalentes sur E.

D´emonstration. Soit pe_iqiPI une base de l’espace vectoriel E (on admet que tout espace vectoriel poss`ede une base...). Comme dimE“ 8, l’ensembleI est infini. Pour u“ ř

iPI

u_ie_i, posons

}u}₁ :“ÿ

iPI

|u_i| et }u}₈ :“sup

iPI

|u_i|.

Ces expressions ont ont un sens car tous les ui sont nuls sauf un nombre fini ; et on vérifie sans difficulté qu’on définit ainsi deux normes sur E (exo). Montrons que ces normes ne sont pas équivalentes.

(22)

Comme I est un ensemble infini, on peut choisir pour tout k P N^˚ un ensemble I^k Ď I de cardinalit´e k. Si on pose u^k :“ ř

iPI^kei, alors }u^k}8 “ 1 et }u^k}1 “ k.

Commek peut ˆetre arbitrairement grand, on voit ainsi qu’il n’existe pas de constante

C telle que } ¨ }1ďC} ¨ }8.

Dans le cadre des espaces métriques, la notion d’équivalence pour les normes se généralise comme suit :

D´efinition 2.3. On dit que deux distances d et d¹ sur un ensemble non-vide E sontLipschitz-´equivalentess’il existe deux constantesC, C¹ ă 8telles quedpu, vq ď C d¹pu, vq etd¹pu, vq ďC¹dpu, vq pour tousu, vPE.

Exercice. Montrer que deux normes sur un espace vectorielE sont équivalentes si et seulement si les distances associées sont Lipschitz-équivalentes.

3. Convergence, continuit´e 3.1. Suites convergentes.

Définition 3.1. SoitpE, dq un espace métrique, soitpukqkPNune suite d’éléments de E, et soit aPE. On dit que la suite pu_kq converge vers a pour la distance d si dpuk, aq Ñ0 quand k Ñ 8. On écrit alors uk Ñ a. Avec des quantificateurs, cela s’écrit ainsi :

@εą0DK @kěK : dpu_k, aq ăε.

Formellement, il s’agit donc exactement de la même définition que pour la convergence d’une suite de nombres réels, en écrivant dpu_k, aq au lieu de|u_ká|.

Voici d’abord quelques remarques “idiotes”, et donc importantes :

r dans la d´efinition, on peut remplacer “ăε” par “ďε” (jouer avec desε{2) ; r au lieu de “dpu_k, aq ăε”, on peut ´ecrire “u_kPBpa, εq” ;

r la définition dépend de la distance d. (Par exemple, la suite uk :“2^´k converge vers 0 dansRpour la distance usuelle, mais pas pour la distance discrète.)

Passons maintenant `a des remarques un peu moins “idiotes”.

Remarque 1. On aunicité de la limite : une suitepu_kqne peut pas converger vers deux points différents. Par conséquent, siu_k Ña, on peut parfaitement dire queaest la limite de la suitepukqet écrirea“ lim

kÑ8uk, ou simplement a“lim uk.

D´emonstration. Siu_k Ñaetu_kÑbalors, comme 0ďdpa, bq ďdpa, u_kq `dpu_k, bq qui tend vers 0 quand kÑ 8, on a dpa, bq “0 et donca“b.

Remarque 2. Si d et d¹ sont deux distances Lipschitz-équivalentes sur un ensemble E, alors la convergence pourdest équivalente à la convergence pourd¹.

D´emonstration. C’est un exotr`es facile.

Conséquence. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, on peut parler de “suites convergentes” dans E sans faire explicitement référence à une norme : par définition, une suitepu_kq ĎEconverge versaPEsi elle converge versapour n’importe quelle norme.