UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences
Section de math´ematiques
Analyse II r´eelle
S´erie 3 2 novembre 2004
1.SoitM(2,2,R) l’espace vectoriel des 2×2-matrices `a coefficients dansR. Pour touti= 0,1,2, on consid`ere les ensembles :
Σi={A∈M(2,2,R)|rang(A) =i}
– Dire si les ensembles Σi, i= 0,1,2, sont ouverts, ferm´es ou ni l’un, ni l’autre.
– Trouver leurs adh´erences.
2. Les applications suivantes :
I:C [0,1],R
→R , f 7→
Z 1
0
f(x)dx ev0:C [0,1],R
→R , f 7→f(0) sont-elles continues, lorsqu’on prend surC [0,1],R
la normek k∞? la normek k1?
3. Montrer que l’ensemble des matrices deM(2,2,R) qui ont deux valeurs propres distinctes est un ouvert.
Est-ce que l’ensemble des matrices diagonalisables est ouvert ? ferm´e ? 4. Soit :
f(x1, x2) =
(x22/x1 six16= 0
0 sinon
Pourε >0, d´ecrire l’ensemble f−1(]−ε, ε[) et en d´eduire que f n’est pas continue en (0,0).
