MPSI B DS 11 1er septembre 2019
Problème 1
Dans tout le problème, on convient d'identier une matrice carrée d'ordre 1 à son unique coecient et l'espace R3 à l'espace des matrices à trois lignes et une colonne. Dans les parties A et B, cet espace est muni de son produit scalaire usuel.
SiA est une matrice réelle 3,3, on appelle noyau deA l'ensemble des vecteurs colonnesX tels que
AX=
0 0 0
Pour tout(a, b)∈R2, on pose
M =
a −a b
−a a b
b b 0
L'ensemble des matrices de la formeM(a, b)avec(a, b)∈R2 est notéE.
A. Généralités
1. Justier que E est un sous-espace vectoriel de M3(R). En donner une base et la dimension.
2. Pour quels réels λ la matrice M(a, b)−λI3 est-elle non inversible ? Pour chaque λ trouvé préciser une base du noyau (tous les vecteurs seront unitaires).
3. Préciser une matriceP telle queM(a, b) =P DtP avec
D=
2a 0 0
0 b√
2 0
0 0 −b√
2
B. Matrices orthogonales de E
1. Déterminer, parmi les matriceM(a, b)deE, celles qui sont orthogonales.
2. On note
A=1 2
−1 1 √ 2
1 −1 √
√ 2 2 √
2 0
Justier que l'endomorphismeψ deR3, admettantApour matrice dans la base cano- nique est une isométrie vectorielle. En préciser la nature et les éléments géométriques.
C. Construction de nouveaux produits scalaires sur R3
Étant donnés trois réelsλ,aetb, on pose
N =λI3+M(a, b) Pour tous vecteursU,V deR3, on poseφ(U, V) =tU N V.
On souhaite déterminer une condition nécessaire et susante, portant surλ,a,bpour que φsoit un produit scalaire surR3.
1. Sans déterminer explicitement φ(U, V), montrer que φ est une application à valeurs dansRbilinéaire et symétrique.
2. On pose
P = 1 2
√2 1 1
−√
2 1 1
0 √
2 −√ 2
etZ =tP U et on notera
Z=
z1 z2
z3
Montrer que
φ(U, U) =tZ(λI3+D)Z = (λ+ 2a)z12+ (λ+b√
2)z22+ (λ−b√ 2)z32 3. Montrer que siλ >max{−2a,|b|√
2}alorsφest un produit scalaire surR3. 4. Étudier la réciproque.
D. Étude des points critiques d'une fonction de deux variables
Dans cette partie,a=−1,b= 1 etλ= 2de sorte que
N = 2I3+M(−1,1 =
1 1 1 1 1 1 1 1 2
Pour tout couple(x, y)de réels, on pose
U =
x xy
y
Puisf((x, y)) =φ(U, U) =tU N U.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S0311E
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1. Montrer que f est de classe C2 et admet exactement deux points critiques que l'on précisera.
2. À l'aide de la partie C., montrer que l'un des points critiques (que l'on précisera) correspond à un minimum global def.
3. Former, pourtau voisinage de0, un équivalent simple à la fonction t→f((−2 +t,−1 +t))
Que peut-on en déduire pour l'autre point critique ?
Problème 2
Le but de ce problème est d'étudier un procédé de transformation de courbes planes.
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct(O,−→ i),−→
j)qui permet d'identier un point ou un vecteur et son axe. On pourra utiliser librement la forme la plus commode. On utilisera par exemple un pointAou son axe complexea, le vecteur−→eθ ou le complexeeiθ. SoitI un intervalle de Rcontenant 0, soit deux fonctionsr et θ de classe C2(I,R). On suppose de plus que θ0(t) > 0 pour tous le t ∈ I. Ces fonctions dénissent une courbe paramétrée à valeurs complexes
∀t∈I, f(t) =r(t)eiθ(t) On poseA0=f(0)d'axea0.
On dénit la courbe paramétréegdansI en posant g(t) =a0+
Z t 0
f0(u)e−iθ(u)du Le support def est notéΦ, celui deg est notéΓ.
1. Soitϕ un changement de paramètre admissible d'un intervalle J contenant 0 vers I. On supposeϕ(0) = 0. Montrer que la courbe paramétrée obtenue par le procédé décrit au dessus à partir def ◦ϕestg◦ϕ. Que peut-on en déduire ?
2. Soit t1 et t2 deux éléments de I, A1 = f(t1), A2 = f(t2), B1 = g(t1), B2 = g(t2). Montrer que les longueurs des arcsA1A2et B1B2 sont égales.
3. Soitt∈I etA=f(t),B=g(t).
On noteM le point d'intersection de la normale àΦenAet de la droite perpendiculaire à(OA)passant parO.
On noteNle point d'intersection de la normale àΓenBet de la droite perpendiculaire à−→
i passant par A0.
a. Calculer les longueursAM etBN.
b. On noteCΦ etCΓ les fonctions courbures associées àf et àg. Simplier CF(A)AM−Cg(B)BN
4. Dans les quatre cas suivants,θ(t) =t pour tous lest∈I
I=R, r(t) = t (1)
I=R, r(t) = et (2)
I=]−π 2,π
2[, r(t) = cost (3)
I=]−π 2,π
2[, r(t) = 1
cost (4)
Les 8 gures présentent les courbes Φ et Γ pour les 4 cas proposés. Associer chaque gure à un cas et à une courbe. Attention, l'intervalle que parcourt le paramètre sur les dessins est plus petit que celui de la dénition.
5. Dans cette question,
I= [0,π
2[, r(t) = cost, θ= tant−t
a. Calculerg(t) en séparant les parties réelles et imaginaires. On sera amené à ef- fectuer un calcul de primitive.
b. Calculer l'angle que fait la tangente enA=f(t)à Γet le rayon de courbure.
c. Comment s'exprime la courbe paramétrée en fonction de cet angle ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2 Rémy Nicolai S0311E
