Exercices en temps libre : Semaine 2 Obligatoire : rédiger l’exercice MPSI et au moins la partie A du problème.
Exercice MPSI :
Soitϕqui àP élément deR2n[X]associeϕ(P) = (X2−1)P′−2nXP.
Vérifier queϕest un endomorphisme deR2n[X]puis déterminer les valeurs et vecteurs propres deϕ.
Pour cela, on cherchera les fonctions y : R → R telles que y′− 2nx
x2−1y = 0 en faisant la décomposition en éléments simples de 2nX
X2−1.
Pour les 5/2 :ϕest-elle diagonalisable ? Problème :
Dans ce problème, on désigne parz¯le conjugué du nombre complexez.
Pour(a, b)∈C2, on désigne parM(a, b)la matrice carrée complexeM(a, b) =
a −b
¯b ¯a
∈ M2(C).
Une matrice de la formeM(a, b)sera appeléequaternion. On considèrera en particulier les quaternionse=I2= M(1,0),I =M(0,1), J =M(i,0), K =M(0,i)et on notera H={M(a, b)|(a, b)∈ C2} le sous-ensemble de M2(C)constitué par tous les quaternions.
On veillera à ne pas confondre la matriceI=M(0,1) et la matrice unitéI2=e=M(1,0).
A Le « corps » des quaternions
On munit l’ensembleC=M2(C)des matrices complexes à deux lignes et deux colonnes de l’addition+, de la multiplication×usuelles et de la multiplication parun réel notée·et définie usuellement par
∀λ∈R, ∀M =
a b
c a
∈ C, λ·M =
λa λb
λc λa
On rappelle que(C,+,×,·)est une algèbre sur le corpsRdes réels.
A.1(a) Donner, sans justification, une base et la dimension deC sur le corpsdes réels R.
(b) Montrer que Hest un sous-espace vectoriel réel de C et que {e, I, J, K} en est une base sur le corpsR.
(c) Montrer queHest stable par multiplication.
A.2 Montrer que(H\ {0},×)est un sous-groupe non commutatif du groupe linéaire(GL2(C),×).
(H,+,×)a toutes les propriétés d’un corps sauf la commutativité de ×: on dit que c’est un anneau à divisions (ou, parfois, uncorps non commutatif).
A.3 Calculer les produits deux à deux des matricese,I,J,K. On présentera les résultats dans une table à double entrée.
B Conjugaison et normes
Ainsi tout élémentq∈Hs’écrit de manière uniqueq=xe+yI+zJ+tK avec(x, y, z, t)∈R4.
Pour (x, y, z, t)∈ R4 et q =xe+yI+zJ+tK ∈H on pose q∗ =xe−yI −zJ−tK ∈ Het N(q) = x2+y2+z2+t2∈R+.
B.1(a) Vérifier que, pour tout q ∈ H, q∗ est la transposée de la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients deq.
(b) En déduire que, pour tout(q, r)∈H2,(qr)∗=r∗q∗.
(c) Montrer queq∗∗=qpour toutq∈Het que q7→q∗est un automorphisme du R-espace vectoriel H.
(d) Pour q∈H, exprimerqq∗ à l’aide de N(q). En déduire que la fonction N est un morphisme de groupes de(H∗,×)dans(R∗+,×).
B.2(a) Soient(x, y, z, t)∈R4 et q=xe+yI+zJ+tK. Exprimer la trace de la matriceq∈ M2(C)en fonction du réelx.
(b) En déduire que, pour tout(q, r)∈H2, qr−rq=q∗r∗−r∗q∗.
(c) Soienta, b, c, ddes quaternions. Établir la relation(acb∗)d+d∗(acb∗)∗= (acb∗)∗d∗+d(acb∗).
En déduire l’identité(N(a) +N(b))(N(c) +N(d)) =N(ac−d∗b) +N(bc∗+da).
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CORRECTIONS : Exercice MPSI : Exercice 1 : Exercice 2 :
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