• Aucun résultat trouvé

Soit E un ensemble et A, B et C trois de ses parties. Démontrer l’équivalence :

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "Soit E un ensemble et A, B et C trois de ses parties. Démontrer l’équivalence :"

Copied!
2
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

PanaMaths Novembre 2012

Soit E un ensemble et A, B et C trois de ses parties.

Démontrer l’équivalence :

A B A C A B A C B C

⎧⎪⎨

⎪⎩

= ⇔ =

=

∪ ∪

∩ ∩

Analyse

La condition suffisante est … immédiate !

Pour établir l’implication réciproque, on notera que les parties B et C jouent des rôles symétriques et qu’il suffit donc d’établir une seule inclusion.

Résolution

⇐ Immédiat.

⇒

Comme les parties B et C jouent des rôles symétriques, il nous suffit de montrer B⊂C. Soit donc x un élément de B.

On distingue deux situations :

• x∈A

Donc x∈A∩B.

Comme A∩B=A∩C, on a donc : x∈A∩C et donc x∈C.

• x∉A

En tant qu’élément de B, x appartient à A∪B. Comme A∪B=A∪C, on a donc x∈A∪C.

Mais alors, comme x n’est pas un élément de A, c’est un élément de C.

En définitive, dans les deux situations, on a : x∈C.

Le raisonnement précédent étant valable pour un élément quelconque de B, on a : B⊂C.

(2)

PanaMaths Novembre 2012

Résultat final

Si A, B et C sont trois parties d’un ensemble, on a :

A B A C

B C

A B A C

⎧ = ⇔ =

⎨ =

⎩

∪ ∪

∩ ∩

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 2 Page - 24.91 KB )

Documents relatifs

a) Démontrer qu'il suffit alors de savoir résoudre une équation du type a ' x+b ' y=c ' avec a ' et b ' premiers entre eux

De nombreux problèmes ont depuis lors vu le jour et ont pour certains mis longtemps avant d’être élucidés, comme par exemple le dernier théorème de Fermat caractérisant

Méthode Pour montrer qu’un ensemble E est inclus dans un ensemble F (donc que E ⊂ F), on considère un élément (quelconque) x deE, et on démontre quex∈F

[r]

Méthode Pour montrer qu’un ensemble E est inclus dans un ensemble F (donc que E ⊂ F), on considère un élément (quelconque) x deE, et on démontre quex∈F

Toute trace de recherche utile à la résolution d’un exercice

Une fonction f d’un ensemble I dans un ensemble J est un objet mathématique qui à tout élément de I associe un unique élément de J, noté f (x).

Le tableau de variation d’une fonction f résume les variations de la fonction en partageant l’ensemble de définition de la fonction en intervalles sur lesquels la fonc- tion

On considère trois parties A, B et C d’un ensemble E.

Soit n un entier naturel non nul, déterminer le cardinal de l’ensemble des applications bijectives de {1, 2, 3,.. Donner un système de représentants des classes d’équivalence de

Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

Préciser les opérations élémentaires assurant que les deux systèmes sont équivalents.. Préciser, suivant les valeurs des paramètres a et b les ensembles

Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

Préciser les opérations élémentaires assurant que les deux systèmes sont équivalents.. Préciser, suivant les valeurs des paramètres a et b les ensembles

Soit E un ensemble et A , B deux parties xées de E . On dénit une fonction f par f :

En utilisant l'inégalité de Ky Fan (à l'exlusion de toute autre méthode), montrer une inégalité entre ces deux moyennes2. Cette création est mise à disposition selon