Une fonction f d’un ensemble I dans un ensemble J est un objet mathématique qui à tout élément de I associe un unique élément de J, noté f (x).

Chapitre III

Généralités sur les fonctions

3 novembre 2010

1.

Table des matières

2 Notions de fontions 2

2.1 Dénition . . . 2

2.2 Représentation graphique . . . 3

3 Appliations aux équations 4

3.1 Résolutionalgébrique d'équation . . . 4

3.2 Résolutiongraphique d'équation . . . 5

4 Variations d'une fontion 7

4.1 Dénitions . . . 7

4.2 Tableau de variation . . . 8

4.3 Extremums . . . 8

5 Programmes 9

Le mot fontion est emprunté sous la forme simpliée funion (1370) au latin funtio

"aomplissement, exéution" , en françaisourant.

Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de ourbes, don d'expressions,

représentait une fontion.

C'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fontion pour la première fois en mathéma-

tiques en 1673, mais la première dénition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705).

Pour le symbole

f (.)

^{, il a été introduit par Euler en 1734 dans} Commentarii Aademiae Sientiarum Petropolitanae.

2.

Notions de fontions

2.1. Dénition

Définition 1 : Fonction

Une fonction f d’un ensemble I dans un ensemble J est un objet mathématique qui à tout élément de I associe un unique élément de J, noté f (x).

• L’ensemble I est l’ensemble de définition de f .

• Le nombre f (x) est l’image de x par la fonction f . C’est un élément de J .

• Le nombre x est un antécédent de f (x) par f .

Notation : Pour expliiter l'expression de la fontion ainsi que les ensembles qu'elle lie,

on utilise lanotation

f : I −→ J x 7−→ f (x)

Exemples :

1

^{. Assoier à tout élève de la lasse sa pointure de haussures dénit une fontion}

p

de l'ensembledes élèvesde lalasse dans l'intervalle

[30; 50]

^.

L'image de ... par

p

^{est la pointure 40.} Réiproquement, ... et ... sont deux antéédents de 40 par

f

^.

2

^{. Assoier à tout nombre réel}

x

^{son arré dénit une fontion}

g

^{de l'ensemble des}

nombres, noté R dans l'ensembledes nombres positifs, noté R

+

. Lenombre 16 est

l'image de

− 4

^par

g

^,

4

^et

− 4

^{sont deux antéédents de 16 par}

f

^.

3

^{. Assoier àtout nombre entier}

n

^{un de ses diviseursn'estpas une fontion.Eneet,}

unentier peutavoirplusieursdiviseursetdonplusieursimagesparetteopération.

Par ontre, assoier àtout nombre entier positif le nombre de ses diviseurs positifs

dénit une fontion bien onnue en arithmétique, appelée

ϕ

^{. Son ensemble de dé-}

nition est l'ensembles des entiers positifs, noté N. Par exemple, l'imagede

6

^par

ϕ

est

4

^ar

6

^{a 4diviseurs qui sont}

1, 2, 3, 6

^.

Exerie résolu 1 :

On onsidère lafontion

f

^{dénie par}

f :

^R

−→

^R

⁺ x 7−→ 2x ² + 4 1

^{. Quel est l'ensemblede dénition de}

f

^?

2

^{. Calulerl'image de}

6

^par

f

^.

3

^{. Déterminer}l'antéédent de

6

^par

f

^.

Solution :

1

^{. D'après la notation}

f :

^R

−→ R ⁺

^{, on a don}

D _f =

^{R, ensemble de tous les}

nombres.

2

^.

f (6) = 2 × 6 ² + 4 = 76

^.

L'image de

6

^par

f

^est

76

^.

Suite de la solution :

3

^{. On herhe}

x

^telque

f(x) = 6

^.

f (x) = 6 ⇔ 2x ² + 4 = 6 ⇔ 2x ² = 2 ⇔ x ² = 1 ⇔ x = ± 1

^.

Les antéédents de

6

^par

f

^est

1

^et

− 1

^.

Function

In mathematisafuntion isarelationbetween agivenset ofelements(thedomain)

and another set of elements (the odomain), whih assoiates eah element in the

domainwith exatlyone element inthe odomain.The elementssorelated an beany

kindofthing(words,objets, qualities)butare typiallymathematialquantities,suh

as real numbers.

Image and preimage under a function

If

f

^{is a funtion and}

x

^{an element of its domain, then}

y = f(x)

^{is the image of}

x

under

f

^. Conversely, the number

x

^{is know asthe preimage of}

y

^underfuntion

f

^.

2.2.

Représentation graphique

Définition 2 : représentation graphique

Soit f une fonction définie sur un ensemble I et (O; I, J) un repère du plan.

La représentation graphique de la fonction f est l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x, y) avec x ∈ I et y = f (x). Cet ensemble est souvent noté C _f .

I J O

b

x; f (x)

x f(x)

antéédents

images

Graph of a function

The graph of a funtion

f

^{is the olletionof allordered pairs}

(x, f (x))

^{.In partiular,}

if

x

^{is a real number, graph means the graphial} representation of this olletion, in the form of aurve ona Cartesian plane. Graphingona Cartesian plane issometimes

referred to asurve skething.

Définition 3 : Tableau de valeurs d’une fonction

Pour tracer la représentation graphique d’une fonction, on établit un tableau de

valeur de la fonction.

Remarque : L'utilisation de la alulatrie permet de gagner beauoup de temps. Voir

module.

Exerie résolu 2 :

Soit

f :

^[-2;3℄

−→

^R

x 7−→ x ² − x − 1

1

^{. Dresser un tableaude valeur de la fontion f de pas 1 sur}

[ − 2; 3]

^.

2

^{. Traer la} représentation graphique de

f

^{.(Unité 1arreau sur haque axe)}

3

^{. Déterminer}graphiquementl'(les) antéédent(s) de

3

^?

4

^{. Le point}

A

^{de oordonnées}

(5, 18)

appartient-il à

C _f

? Solution :

1

^.

f ( − 2) = ( − 2) ² − ( − 2) − 1 = 5

^;

f ( − 1) = ( − 1) ² − ( − 1) − 1 = 1

^,...

On obtientle tableaude valeurs :

x

^{-2 -1 0 1 2 3}

f(x)

^{5 1 -1 -1 1 5}

3

^. Graphiquement : On trae la

droite d'équation

y = 3

^{. Elle oupe}

C _f

en deux pointsdont lesabsisses

sont

≈ − 1.5

^et

≈ 2.5

^.

Lesantéédents de 3sont

≈ − 1.5

^et

≈ 2.5

^.

4

^.

f (5) = 5 ² − 5 − 1 = 19

^.

Les oordonnées

(5; 18)

^{ne vérient}

pas l'équation de la ourbe don le

point

A

n'appartient pas à

C _f

.

2

^.

1 2 3 4 5

− 1

− 2

1 2

− 1

− 2

Remarque: lareherhe d'antéédents parlaméthodegraphiquene permet pasd'obtenir

des valeurs exates mais seulement des approximations. Dans l'exemple i-dessus, les

valeursexates des antéédents de

3

^par

f

^sont

1 + √ 17 2

^et

1 − √ 17

2

^.

3.

Appliations aux équations

3.1.

Résolution algébrique d'équation

Rappel : On saitdéjà résoudre trois types d'équations par le alul:

•

^{Les équations du premier degré. Ce sont toutes les équations du type}

ax + b

^{et elles}

qui s'y ramènentaprès développement, rédution outransposition.

Exerie résolu 3 :

Résoudre l'équation

3x + 1 = 2x + 3 − 5(x + 4)

^.

Solution :

3x + 1 = 2x + 3 − 5(x + 4) 3x + 1 = 2x + 3 − 5x − 20 3x − 2x + 5x = 3 − 20 − 1

6x = − 18 x = − 18

3 = − 3

•

^{Leséquationsproduits:Ce sontleséquationsdu type}

p × q = 0

^{ettoutesleséquations}

s'y ramenant aprèstranspositionou fatorisation.

Exerie résolu 4 :

Résoudre l'équation

(3x + 1)(2x + 2) = (2x + 2)(5x + 4)

^.

Solution :

(3x + 1)(2x + 2) = (2x + 2)(5x + 4) (3x + 1)(2x + 2) − (2x + 2)(5x + 4) = 0

(2x + 2)[(3x + 1) − (5x + 4)] = 0 (2x + 2)( − 2x − 3) = 0

Un produit est nul siet seulementsi un des fateurs est nul.

2x + 2 = 0

^OU

− 2x − 3 = 0 2x = − 2 − 2x = 3

x = − 1 x = − ³ 2

•

^{Les équationsdu type}

x ² = a

^{dontles solutionssont}

√

a

^et

− √ a

^.

Exerie résolu 5 :

Résoudre l'équation

3x ² + 2 = 5

^.

Solution :

3x ² + 2 = 5 3x ² = 3 x ² = 1

x = ± 1

3.2.

Résolution graphique d'équation

Il y a des équations que l'on ne sait pas (enore) résoudre par le alul. On utilise alors

une méthode graphiquepour avoirune approximationd'unesolution.Noustraiteronsdes

exemples pour être plus lair.

Exemple 1:Résoudre l'équation :

x ² − 2x − 3 = 5

On trae la représentation graphique de la

fontion

f (x) = x ² − 2x − 3

^.

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3 C _f

y = 5

Résoudre l'équation

f (x) = x ² − 2x − 3 = 5

revient à herher les pointsqui ont pour im-

age

5

^par

f

^.

Graphiquement,lessolutionssemblentêtre

− 2

et

4

^{.Onnote :}

S = {− 2; 4 }

^.

Exemple 2:Résoudre l'inéquation

x ² − 2x − 3 6 − 3

On trae la représentation graphique de la

fontion

f (x) = x ² − 2x − 3

^.

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3 C _f

y = − 3

Résoudrel'inéquation

f (x) = x ² − 2x − 3 6 − 3

revientàherherlespointsquiontuneimage

inférieure à

− 3

^.

Graphiquement, les solutions semblent être

tous les nombres ompris entre

0

^et

2

^inlus.

Onnote:

S = [0; 2]

^.

Exemple 3:Résoudre l'équation :

x ² − 2x − 3 = x − 3

On trae la représentation graphique de la

fontion

f (x) = x ² − 2x − 3

^etde

g(x) = x − 3

^.

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3 C _f

C _g

Résoudre l'équation

f (x) = x ² − 2x − 3 = x − 3 = g(x)

revient à herher les points qui ont lamême

image par

f

^etpar

g

^.

Graphiquement,elarevientàherherlesab-

sisses des points d'intersetion de la ourbe

C _f

etde laourbe

C _g

.

S = { 0; 3 }

^.

Exemple 4:Résoudre l'inéquation :

x ² − 2x − 3 6 x − 3

On trae la représentation graphique de la

fontion

f (x) = x ² − 2x − 3

^etde

g(x) = x − 3

^.

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3 C _f

C _g

Résoudre l'inéquation

f(x) = x ² − 2x − 3 > x − 3 = g(x)

revient à herher les points dont l'image par

f

^{est supérieure à l'image par}

g

^{, 'est à dire}

les absisses pour lesquels la ourbe

C _f

est situé au dessus de la ourbe

C _g

. Graphique- ment,lessolutions semblentêtretouslesnom-

bresavant

0

^{exlusetaprès}

3

^exlus.Onnote

S =] − ∞ ; 0[ ∪ ]3; + ∞ [

Remarques : Laméthode présente deux inonvénients :

•

^{La valeur obtenue par leture graphique n'est qu'une} approximation de la solution herhée. Pour savoirsi 'est lavaleur exate, ilfaut faireune vériation.

•

^{La méthode ne donne que les solutions visibles dans la fenêtre ahée. Ainsi, on ne}

peut pas savoirsi ona trouvétoutes les solutionsoùs'il en existe d'autres.

Cependantelleaunénormeavantage:ilyadeséquationsquel'onnesaitpas(enore)ré-

soudreparlealul.Onutilisealorsuneméthodegraphiquepouravoiruneapproximation

d'une solution.

Définition 4 : Tableau de signe

Lorsque l’on résout l’équation f (x) ≤ 0 ; on donne la solution sous la forme d’un tableau appelé tableau de signe de la fonction f .

Exerie résolu 6 :

Dresser le tableau de signe de la fontion dont la représentation graphique est donnée

i-dessous.

1 2 3

− 1

− 2

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

Solution :

x f (x)

− 5 − 4 1 3, 5 4

-

0

⁺

0

^-

0

⁺

Solve by graphing

Equationsandinequationsinvolvingoneormorefuntionsanbesolvedbygraphing.

The solutions found under that methodare most of the time approximate values.

4.

Variations d'une fontion

4.1.

Dénitions

Increasing and decreasing functions

Afuntion

f

^{isalledinreasing, ifforall}

x

^and

y

^suhthat

x 6 y

^{one has}

f (x) 6 f (y)

^,

so

f

^{preserves the order. Likewise, a funtion is alled dereasing if, whenever}

x 6 y

^,

then

f (x) > f (y)

^{,so it reverses the order.}

Graphially,the urve of an inreasing funtion grows right upward (and right down-

ward foran dereasing funtion.)

4.2.

Tableau de variation

Définition 5 : Tableau de variation

Le tableau de variation d’une fonction f résume les variations de la fonction en partageant l’ensemble de définition de la fonction en intervalles sur lesquels la fonc- tion est monotone.

Variations table

The variations tableisa typiallyFrenhmethod,so theterm doesn't reallyexistin

English. We willstilluse it,as it'sa very eient tool inmany situations.

4.3. Extremums

Définition 6 : Maximum-Minimum

Le maximum d’une fonction sur un intervalle I est la plus grande valeur de f (x) quand x décrit I .

Le minimum d’une fonction sur un intervalle I est la plus petite valeur de f (x) quand x décrit I .

Extrema

The maximum and minimum of a funtion are the largest and smallest value the

funtion takes within a given interval (loal extremum) or on the funtion domain in

its entirety (global extremum).

Exerie résolu 7 :

Ondonnei-dessouslareprésentationgraphiqued'unefontion

f

^{.Dérirelesvaraitions}

de

f

^.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

C _f

Solution :

f

^{est dénie sur [}

− 5; 6

^℄

f

^{est roissante sur [}

− 5; − 3] ∪ [1.5; 6

^℄

f

^est déroissante sur [

− 3; 1.5

^℄

Le maximum de

f

^{sur [}

− 5; 6

^{℄ est}

4

^{obtenue pour}

x = − 3

^.

Le maximum de

f

^{sur [}

− 1; 6

^{℄ est}

3

^{obtenue pour}

x = 6

^.

Le minimumde

f

^{sur [}

− 5; 6

^{℄ est}

− 2

^{obtenue pour}

x = 1.5

^.

Suite de la solution :

Le tableaude variationde lafontion f est :

x

f

− 5 − 3 1, 5 6

22

44

− 2

− 2

33

5.

Programmes

Rappel des notions vues lors des années précédentes

Classe de cinquième Repérage dans le plan.

Dans le plan muni d’un repère orthogonal :

• lire les coordonnées d’un point donné ;

• placer un point de coordonnées données.

Connaître et utiliser le vocabulaire : origine, coordonnées, ab- scisse, ordonnée.

Initiation à la notion d’équation.

• Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéter- minés est vraie lorsqu’on leur attribue des valeurs numériques.

Classe de quatrième Calcul littéral

• Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques.

• Développement :

⋄ Réduire une expression littérale à une variable, du type : 3x − (4x − 2), 2x ² − 3x + x ² . . .

⋄ Développer une expression de la forme (a + b)(c + d).

Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

• Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à

une inconnue.

Classe de troisième Notion de fonction

Image, antécédent, notations f(x), x 7→ f (x).

• Déterminer l’image d’un nombre par une fonction déter- minée par une courbe, un tableau de données ou une for- mule.

• Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d’ensemble de définition sont hors programme.

Fonctions affines et linéaires

• Calculs d’images et d’antécédents.

• Représentations graphiques.

• Coefficient directeur et ordonnée à l’origine.

Programme de seconde

Images, antécédents, courbes représentatives : reprise et ap- profondissement des notions vues au collège.

Étude qualitative de fonctions :

Fonction croissante, fonction décroissante, maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle.

• Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe.

• Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations.

• Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations :

⋄ comparer les images de deux nombres d’un intervalle ;

⋄ déterminer tous les nombres dont l’image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée.

Fonctions de référence :

Fonctions affines et fonctions linéaires.

• Donner le sens de variation d’une fonction affine.

• Donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données de a et b.

Variations de la fonction carré, de la fonction inverse.

• Connaître les variations des fonctions carré et inverse.

• Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse.

Études de fonctions :

Fonctions polynômes de degré 2.

• Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes.

Fonctions homographiques.

• Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homo- graphique.

Résolutions graphiques et algébriques d’équations et d’inéqua-

tions.