Universit´e de Lille M2R 2017-2018
Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes
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FONCTIONS SOUS-HARMONIQUES
FONCTIONS HOLOMORPHES DE PLUSIEURS VARIABLES
1. Fonctions sous-harmoniques
Exercice 1
Soit (X, d) un espace m´etrique, et u : X → [−∞; +∞[. Montrer que les propositions suivantes sont ´equivalentes :
1. ∀x0 ∈X, ∀ε >0, ∃V ∈ V(x0) | ∀x∈V, u(x)≤u(x0) +ε 2. ∀x0 ∈X, limsupx→x0u(x)≤u(x0)
3. ∀c∈R, {x∈X |u(x)< c}est un ouvert de X
4. {(x, y)∈X×[−∞; +∞[|y > u(x)}est un ouvert deX×[−∞; +∞[
Exercice 2
Soit A une partie de X : `a quelle condition la fonction caract´eristique χA
est-elle s.c.s. ? Exercice 3
Soitu:X →[−∞; +∞[ une fonction s.c.s., etK un compact deX: montrer queu|K est major´ee et atteint son sup.
Exercice 4
Soit Ω un ouvert deC,uetvdeux fonctions sous-harmoniques sur Ω. Mon- trer que
1. max(u, v) est sous-harmonique ;
2. λu+µv(λ, µ≥0) est sous-harmonique ;
3. φ◦u est sous-harmonique si φ:R→ R est une fonction convexe et croissante.
Exercice 5
Soit Ω un ouvert de C, et u : Ω → R de classe C2 : on montre alors, en utilisant la formule de Green, que si ∆(z0, r)⊂Ω,
u(z0) = Z 2π
0
u(z0+reiθ)dθ 2π + 1
2π Z
∆(z0,r)
∆u(z) ln|z−z0| r dλ(z) 1
1. En d´eduire que u est sous-harmonique ssi ∆u≥0.
2. Montrer que, sif :U →Ω est holomorphe sur un ouvert deC :
∗ ln|f|et|f|p (p≥0) sont sous-harmoniques ;
∗ si u est sous-harmonique,u◦f est sous-harmonique.
Exercice 6
Soitu une fonction sous-harmonique sur Ω un ouvert de C.
1. Montrer que siu admet un maximum global, elle est constante.
2. On suppose de plus que Ω est born´e et connexe, et que u : Ω → [−∞; +∞[ est continue : montrer que∀z ∈Ω, u(z) ≤Sup∂Ωu (avec in´egalit´e stricte si u n’est pas constante).
Exercice 7
Soitu une fonction sous-harmonique sur un domaineDdeC. Le but est de montrer que si u=−∞ sur un segmentL non trivial de D, alorsu =−∞
dansDentier.
1. On choisit un disque ∆ ouvert, centr´e en un point de L, assez petit pour queL∩∆ soit un diam`etre de ∆, le d´ecomposant en ∆− et ∆+. Montrer que
v(z) = −∞si z∈∆−∪L u(z) siz∈∆+ est sous-harmonique sur ∆.
2. En d´eduire que v=−∞ sur ∆. Conclure.
2. Fonctions holomorphes de plusieurs variables
Exercice 8
SoitDun domaine deC2 etf ∈Hol(D). Soit a=α+iβ∈D. Montrer que sif s’annule dans un voisinage r´eel{x+iβ| |x−α|< r}deadansD, alors f est identiquement nulle.
Exercice 9
Montrer que toute fonction holomorphe et born´ee sur C2 est constante.
Exercice 10 V´erifier que
f(z1, z2) = z1
1 +z2
,−i1−z2 1 +z2
d´efinit un biholomorphisme de la boule euclidienne sur Ω := {(z1, z2) ∈ C2 |Imz2+|z1|2 <0}.
2
Exercice 11
Soit f : C2 → C2∪ {∞} d´efinie par f(0,0) = 0, f(z, z) = ∞ si z 6= 0 et f(z, w) = (z+w)z−w2 siz6=w. V´erifier que f est s´epar´ement m´eromorphe, mais pas continue en (0,0).
Exercice 12
Soit f une application holomorphe sur la boule euclidienne B(0, R) de Cn. On suppose quef admet l’origine comme z´ero d’ordreket quef est born´ee par une constanteM sur la boule. Montrer que
∀z∈B(0, R), |f(z)| ≤M z R
k
Exercice 13
Montrer qu’une fonction holomorphe qui s’annule sur un hyperplan r´eel de Cnest identiquement nulle. Est-ce encore vrai pour un hyperplan complexe ? Exercice 14
Soit f une fonction de classe C1 sur un ouvert Ω de Cn. On suppose que f est holomorphe surU := Ω\Z, o`u Z ={z ∈Ω |f(z) = 0}. Le but est de montrer que f est holomorphe dans Ω (le r´esultat est encore vrai si f est seulement suppos´ee continue).
1. Montrer qu’il suffit d’obtenir le r´esultat pour n= 1, avec Ω = ∆ le disque unit´e et f : ∆ → C continue, de classe C1 dans ∆. C’est ce qu’on suppose dans la suite.
2. Soitg:U →Cune fonction continue, holomorphe dansU : montrer que∀z∈U, |g(z)| ≤ Sup
∂∆∩∂U
|g|.
3. Montrer queU est un ouvert dense.
4. Conclure.
3
