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Résolution Analyse Montrer que l’on a : AB Δ , par : Soit E un ensemble et A et B deux de ses parties. On définit la « différence symétrique de A et B », notée

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Octobre 2013

Soit E un ensemble et A et B deux de ses parties.

On définit la « différence symétrique de A et B », notée A B Δ , par :

( ) ( )

A B Δ = A B \ A B ∪ ∩

Montrer que l’on a :

( ) ( )

A B Δ = A B ∩ ∪ A B ∩

Analyse

Un petit exercice simple sur la différence symétrique pour se familiariser un peu avec cette notion.

Résolution

On a :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A B A B \ A B

A B A B définition de la différence

A B A B loi de Morgan

A B A A B B distributivité de sur

A A B A A B B B distributivité de sur encore ...

A A B A A B B B associativité de l'union

Δ =

=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

= ∅

∪ ∩

∪ ∩ ∩

∪ ∩ ∪

∪ ∩ ∪ ∪ ∩ ∩ ∪

∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪

∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

B A A B définition du complémentaire

B A A B neutralité de pour l'union

∅

= ∅

∪ ∩ ∪ ∩ ∪

∩ ∪ ∩

(2)

PanaMaths Octobre 2013

Résultat final

Pour tout ensemble E, on a :

(

A, B

) ( ( )

E

)

2, A B

(

B A

) (

A B

)

∀ ∈

P

Δ = ∩ ∪ ∩

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