Codiagonalisabilité de matrices diagonalisables

Codiagonalisabilité de matrices diagonalisables

L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.

SoientA, B∈ M_n(K) deux matrices diagonalisables.

AetB sont codiagonalisables si, et seulement si,A etB commutent.

Théorème 1

Démonstration.

” ⇒ ”: On suppose qu’il existeP ∈GLn(K),D1, D2∈Dn(K)tels que P⁻¹D1P =AetP⁻¹D2P = B.

Or(D_n(K),+,×) est un anneau commutatif et alors

AB= (P⁻¹D1P)(P⁻¹D2P) =P⁻¹D1D2P =P⁻¹D2D1P = (P⁻¹D2P)(P⁻¹D1P) =BA.

” ⇐ ” : SoientA, B ∈ M_n(K) deux matrices diagonalisables.

Notons uetv les endomorphismes canoniquement associés à A etB.

Notons λ1,· · ·, λr les valeurs propres associées à u etE1,· · · , Er les sous-espaces propres associés.

Comme uest diagonalisable alors

Kⁿ= ⊕^r

i=1E_i.

Soit 1 6 i 6 r. Comme u et v commutent, on en déduit que Ei est stable par v. L’endomorphisme induit v^|E_[Eⁱ

i est diagonalisable puisque v l’est. NotonsB_i une base de vecteurs propres dev_[E^|Ei

i. Enfin, considéronsB= ∪^r

i=1 B_i.B est une base adaptée à la supplémentaritéKⁿ= ⊕^r

i=1 Ei. Il est alors très clair que les représentations matricielles deu etv dansB sont diagonales.

Par récurrence, on peut montrer le résultat qui suit.

SoientA₁,· · ·, A_r∈ M_n(K)r matrices diagonalisables.

A1,· · · , Ar sont codiagonalisables si, et seulement si,A1,· · ·, Ar commutent deux à deux.

Corollaire 2

1