ENDOMORPHISMES DIAGONALISABLES EN DIMENSION FINIE.

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�� ENDOMORPHISMES DIAGONALISABLES EN DIMENSION FINIE.

SoitKun corps commutatif,EunK-espace vectoriel de dimension finienœN^ú. Soitf œL(E).

I. Généralités

I. A. Eléments propres

[MM��, ChI/IV]

D��. On dit que⁄œKest valeur propre defsiE⁄= kerf≠⁄idEest non réduit à{0}.E⁄est appelé sous-espace propre defassocié à⁄et ses éléments non nuls sont les vecteurs propres associés à⁄. On noteSp(f)l’ensemble des valeurs propres def.

P��. Les sous-espaces propres defsontf-stables et en somme directe.

E��. Supposons quen= 3et qu’il existe une baseB= (e1, e₂, e₃)telle que : M_B(f) =

Q

a – 0 0 0 — 0 0 0 —

R

b où–”=— œK²

AlorsSp(f) ={–,—},E–= Vect(e1),E—= Vect(e2, e₃)etE=E–üE—.

I. B. Polynômes d’endomorphismes

[MM��, ChI/IV]

PourP =qp

k=0akX^k œK[X], on poseP(f) =qp

k=0akf^k œL(E).

D��. [�� ]

L’applicationÏf :K[X]≠æL(E), P ‘≠æP(f)est un morphisme d’algèbres. Son noyau, l’ensemble des polynômes annulateurs def, est un idéal deK[f]donc est engendré par un unique polynôme unitaireﬁfappelé polynôme minimal def.

P��. On adim(K[f]) = deg(ﬁf).

E��. Polynômes minimaux usuels [�� ]

R��. Se donner un endomorphismef œL(E)revient à se donner sa matriceM dans une base deE. On a donc les mêmes résultats pour les matrices.

P��. Soientf, gœL(E)tels quefetgcommutent. Alorsker(f)etIm(f)sont stables parg. En particulierker(P(f))etIm(P(f))sont stables parfpour toutP œK[X].

L��. [�� ]

Soit(Pi)1ÆiÆrune famille de polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors en posantP = rr

i=1Pi, on aker(P(f)) =mr

i=1ker(Pi(f)). De plus, le projecteur deker(P(f))sur l’un de ces sous-espaces parallèlement à la somme des autres est un polynôme enf.

A��. SoitPannulateur def. SiP =rr

i=1P_i^–ⁱoù les(Pi)1ÆiÆrsont deux à deux premiers, alors on a la décomposition en sous-espacesf-stablesE=mr

i=1ker(P_i^–ⁱ(f)).

I. C. Polynôme caractéristique

[MM��, ChV/VII] [Gou��, Ch�]

D��. [�� ]

On définit le polynôme caractéristique deM œMⁿ(K)par‰M(X) = det(XIn≠M).

P��. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. On peut donc définir le polynôme caractéristique def.

E��. En dimension2, on a‰M =X²≠Tr(M)X+ det(M)et‰M(M) = 0.

En dimension quelconque, si‰M = qn

k=0akX^k, on aan = 1,a_n≠1 = ≠Tr(M)eta₀ = (≠1)ⁿdet(M).

Polynômes caractéristiques usuels [�� ]

I. D. Liens entre polynômes et valeurs propres

[MM��, ChV/VII]

P��. SoitFun sous-espacef-stable deE. On posefFl’endomorphisme induit surFparf. AlorsﬁfF |ﬁfet‰fF |‰f.

SiE=mr

i=1Eiest une décomposition en sous-espaces stables deE, alors‰f =rr i=1‰f_Ei. P��. [�� ]

⁄œKest une valeur propre defsi et seulement si‰f(⁄) = 0si et seulement siﬁf(⁄) = 0.

T��. [�� C��-H��]

‰fest un polynôme annulateur def. Autrement dit,ﬁf |‰f. D��. [��]

Soit⁄œSp(f)une valeur propre def. On appelle :

• multiplicité géométrique de⁄la dimension deE⁄, notéemg(⁄),

• multiplicité algébrique de⁄la multiplicité de⁄en tant que racine de‰f, notéema(⁄),

• multiplicité minimale de⁄la multiplicité de⁄en tant que racine deﬁf, notéemm(⁄).

On amm(⁄)Æmg(⁄)etma(⁄)Æmg(⁄).

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

II. Diagonalisabilité

[MM��, ChVIII]

II. A. Critères de diagonalisabilité

D��. fest diagonalisable s’il existe une base deEformée de vecteurs propres def(c’est-à-dire si la matrice dans une certaine base deEest diagonale).

A��. Les valeurs propres defsont alors les coe�icients diagonaux d’une matrice diagonale associée àf(voir Exemple�).

T��. On a équivalence :

• fest diagonalisable,

• E=m

⁄œSp(f)E⁄,

• ﬁfest scindé à racines simples,

• il existe un polynôme annulateur defscindé à racines simples,

• ‰fest scindé et pour tout⁄œSp(f),mg(⁄) =ma(⁄).

A��.

• Sifadmetnvaleurs propres distinctes,fest diagonalisable.

• Sifn’a qu’une valeur propre,fest diagonalisable si et seulement sifest une homothétie.

• Un projecteur et une symétrie sont diagonalisables.

• Un endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul.

•

3 0 1

≠1 0 4

est diagonalisable surCmais pas surR.

• Sirg(f) = 1, alorsfest diagonalisable si et seulement siTr(f)”= 0.

C��. SiFestf-stable etfest diagonalisable, alorsf_|Fest diagonalisable.

A��. [�� Dⁿ(F^q)] [Rom��, p��–��]

SoitnœN,q=p^roùpest premier etrœN^ú. SoitDⁿ(F^q)l’ensemble des matrices diagonalisables deF^q. Alors en posant|GL0(F^q)|= 1, on a :

|Dⁿ(F^q)|= ÿ

n1+···+nq=n

|GLⁿ(F^q)| rq

i=1|GLⁿi(F^q)|

II. B. Co-diagonalisabilité

P��. Soientf, g œ L(E)tels quefetgcommutent. AlorsIm(f)et les sous- espaces propres defsont stables parg.

P��. Soit(fk)1ÆkÆN une famille d’endomorphismes diagonalisables com- mutant deux à deux. Alors il existe une base commune de diagonalisation (on dit que les (fk)1ÆkÆN sont co-diagonalisables).

A��. SoientA, B œ Mⁿ(R)diagonalisables. Alors œ L(Mⁿ(R))définit par (M) =AM Best diagonalisable.

E��. SoitGun sous-groupe fini abélien deGLⁿ(C). Alors les éléments deGsont co-diagonalisables. DoncGest conjugué à un sous-groupe de matrices diagonales.

II. C. Topologie pour K = R ou C

[BMP��, §�.�.�/�.�, p��/��]

P��. Pour⁄œSp(f),|⁄|Æ|||f|||où|||.|||est la norme subordonnée à n’importe quelle norme surE.

P��. PourA, BœMⁿ(C), on a‰AB=‰BA.

P��. M ‘≠æ‰Mest continue.

A��. L’ensemble des matrices nilpotentes est fermé.

P��. Dⁿ(K) =Tⁿ(K). En particulierDⁿ(C)est dense dansMⁿ(C).

II. D. Liens avec les endomorphismes semi-simples

[BMP��, §�.�.�, p��–��]

D��. [�� -��]

fest dit semi-simple si tout sous-espacef-stable admet un supplémentairef-stable.

T��. fest semi-simple si et seulement siﬁfest sans facteur carré.

A��. SurK = C,f est semi-simple si et seulement sif est diagonalisable. Sur K=R,fest semi-simple si et seulement sifest diagonalisable surC.

E��. Sifest nilpotente, alorsfest semi-simple si et seulement sif = 0.

E��. Les rotations deR²sont semi-simples.

A��. Supposonsf semi-simple et soitF un sous-espacef-stable. AlorsuF et u:E/F ≠æE/Fsont aussi semi-simples.

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III. Décomposition de D��

[MM��, Ch��] [Gou��, §�.�, p��]

T��. [�� D��]

Soitf œL(E)de polynôme caractéristique scindé. Alors il existe un unique couple(d, n)œ L(E)²tel quedest diagonalisable,nest nilpotent,f =d+netdcommute avecn.

De plus,detnsont des polynômes enf.

A��. Soit M œ Mⁿ(K) de polynôme caractéristique scindé. On note µ1, . . . , µnlesnracines de‰M (comptées sans leur multiplicité). Soit(D, N)la décompo- sition deD��deM. SoitP œGLⁿ(K)telle queP^≠1DP = = diag(µ1, . . . , µn)soit diagonale. Alors on a :

exp(A) =Pdiag(e^µ¹, . . . ,e^µⁿ)P^≠1

nÿ≠1 k=0

N^k k!

E��.

A _{1 1 0}

0 1 1 0 0 1

B

=I3+

A _{0 1 0}

0 0 1 0 0 0

B A _{1 1 1}

0 1 1 0 0 3

B

=

A _{1 1 1}

0 1 1 0 0 3

B +

A _{0 0 0}

0 0 0 0 0 0

B

exp

AA _{1 1 0}

0 1 1 0 0 1

BB

=

A _{e e e}_/2

0 e e 0 0 e

B

E��. Un endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul.

A��. Résolution de l’équation di�érentielleY^Õ =AY pourAœMⁿ(C).

R��. SurK = RouC, on n’a pas continuité def ‘≠æ (d, n): considérer 3 1 1

0 1 4

et3 1 1 0 –

4 .

IV. Théorèmes spectraux

[Rom��, Ch��, p��]

On se place surK = R(resp.C) et on considèreEeuclidien (resp. hermitien) de dimension finie. On noteM^ú=M^€la transconjuguée deM. On notef^úl’adjoint def œL(E).

D��. On dit quef est une isométrie (resp. un endomorphisme unitaire) sif préserve la norme (’xœ E,Îf(x)Î=ÎxÎ).

D��. On dit quefest auto-adjoint sif^ú=f. On dit quefest normal sif^úf = f f^ú.

E��. On a les mêmes définitions pour les matrices. Une matrice symétrique ou ortho- gonale (resp. hermitienne ou unitaire) est normale.

L��. SiFestf-stable etfest normal alorsf^‹estf-stable etf^ú-stable.

A��. Les sous-espaces propres defnormal ont un orthogonalf-stable.

T��. [�� ,�� ]

SiEest hermitien, tout endomorphisme normal est diagonalisable dans une base orthonor- mée.

L��. Toute matrice symétrique réelle admet une valeur propre réelle. De plus les sous- espaces propres associés sont deux à deux orthogonaux.

T��. [�� -��]

Tout endomorphisme auto-adjoint admet une base orthonormale de diagonalisation.

A��. Pour déterminer les valeurs propresµ₀< µ₁<· · ·< µrdefauto-adjoint, on procède par récurrence en posant :

µi= min()

Èf(x)|xÍ|ÎxÎ= 1etxœ(Eµ0ü· · ·üEµi≠1)^‹*)

(4)

��

Polynômes minimaux et caractéristiques usuels

SoitFun sous-espace vectoriel de dimension1ÆpÆn≠1.

f ﬁf ‰f

nilpotent d’indicek X^k Xⁿ

homothétie de rapport⁄ X≠⁄ (X≠⁄)ⁿ projecteur surF X²≠X (X≠1)^pXⁿ^≠^p symétrie par rapport àF X²≠1 (X≠1)^p(X+ 1)ⁿ^≠^p

��

La diagonalisation permet de trouver une base de vecteurs propres, dans laquelle il est souvent beaucoup plus aisé de faire des manipulations!

��

Q Que peut-on dire des sous-espaces stables defdiagonalisable?

R Ils admettent un supplémentaire stable, par le théorème de la base incomplète.

Q Comment montrer le Corollaire��?

Q Le Théorème��est-il le même résultat que la propriété de réduction des formes quadratiques? (l’un découle-t-il de l’autre? )

R Ils n’ont rien à voir, en revanche il y a un résultat sur les formes quadratiques équivalent à ce résultat.

Q SoitDl’ensemble des matrices diagonales deGLⁿ(C). Que dire deD?

R C’est un groupe abélien. Il n’est pas distingué car il existe des matrices diagonalisables non diagonales. Son commutateur est lui-même. Son normalisateurN vérifieN/D ƒSn. En e�et, soitP œN. PourM = diag(µ1, . . . , µn)œDavec tous les coe�icients distincts, on a queM^Õ =P M P^≠1est diagonale. Notant(⁄i)1ÆiÆnses coe�icients diagonaux, il existe

‡ œ Sntelle que⁄i = µ_‡(i)pour1 Æ i Æ n, ou encoreM^Õ = P‡M. On en déduit que P œP‡E.

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[MM��] R.M��et R.M��:Algèbre linéaire : Réduction des endomorphismes. De Boeck,

�^èmeédition,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

￿￿￿ ENDOMORPHISMES DIAGONALISABLES EN DIMENSION FINIE.